Z matematyką nie miałem nic wspólnego od czasu liceum, więc dość długo i w zasadzie nie pamiętam już, co to całka, wzory na to lub tamto, nawet język matematyki, jego symbolika zapisu, zatarł mi się zupełnie w pamięci.

Wydawałoby się więc, że skoro utraciłem z nią dawno kontakt, powinna być mi obca. A jednak w jakiś sposób mnie fascynuje, a w każdym razie ciekawi, pomimo braku umiejętności posługiwania się nią. Może dlatego, że jest dla mnie żywym potwierdzeniem, że w świecie istnieje Logos, który go porządkuje, czyniąc świat możliwym do zrozumienia.  „Na początku było Słowo (Logos) (…) Wszystko przez Nie się stało, a bez Niego nic się nie stało, co się stało”.

W księdze „Genesis” Bóg stwarza świat słowem, jednak, jak się wydaje, nie od samego początku,: „Na początku Bóg stworzył niebo i ziemię. Ziemia zaś była bezładem i pustkowiem: ciemność była nad powierzchnią bezmiaru wód, a Duch Boży unosił się nad wodami.” Panował więc chaos, choć pełen potencjału (Duch Boży).

Widząc to Bóg kontynuował dzieło stworzenia przy pomocy słowa (Logosu), „Wtedy Bóg rzekł: «Niechaj się stanie światłość!» I stała się światłość. Bóg widząc, że światłość jest dobra, oddzielił ją od ciemności. I nazwał Bóg światłość dniem, a ciemność nazwał nocą.” Wraz z Logosem do świata wkroczył ład, logika i to, że może być przez nas zrozumiany.

Dopiero w takim świecie możliwa była matematyka, i potwierdzana nieustannie przez nauki przyrodnicze „matematyczność” świata, jego opis i poznawanie przy wykorzystaniu formuł matematycznych.

 

Cud „matematyczności” świata.

Bo jest coś niezwykłego i fascynującego w tym, że matematyka, wydawałoby się zupełnie oderwana od realnego świata w stopniu, iż bardziej nie można, tak doskonale potrafi go penetrować i oświetlać takie jego obszary, do których bez niej nie mielibyśmy dostępu. To dzięki matematyce, jej modelom oraz formułom możliwe jest ujawnienie „podszewki” świata przyrody, materii. Zanany matematyk i fizyk, Freeman Dyson uznał, że  „To istny cud, że matematyka okazuje się językiem, jakim przemawia do nas natura.”. To zadziwienie podziela wraz z nim bardzo wielu ludzi ze świata nauki i filozofii.

Jak to możliwe, że ten bardzo abstrakcyjny świat teorii matematycznych (abstrakcyjny  w sensie -  oderwany od zmysłowo postrzegalnych przedmiotów, niezależny od nich) tak bardzo może przystawać do otaczającej nas rzeczywistości przyrodniczej, a jednym z głównych haseł scjentystów  stało się dążenie do tego, by cała nauka, wszelkie jej dziedziny jak najszybciej i w jak największym zakresie używały matematyki jako podstawowego  narzędzia poznawczo-analitycznego?

Czy możliwa jest do pomyślenia matematyka subiektywna? Byłby to pewnego rodzaju oksymoron. Matematyka jest obiektywna ze swej istoty. Bo idea systemu dedukcyjnego opartego na aksjomatach polega na tym (a taka jest właśnie matematyka), że nie można w jego ramach dochodzić do różnych wniosków zależnie od podmiotu, który go używa. Można to porównać np. do gry w szachy – są w niej ściśle określone zasady, wg których gra może się toczyć, a w jej trakcie sytuacje przekształcać zgodnie ze zdefiniowanymi regułami. Jeśli ktoś łamie te reguły, to znaczy, że nie gra już w szachy, tylko w coś innego. Na gruncie określonych aksjomatów, ściśle zdefiniowanego języka symboli i jego zapisów, jednoznacznych reguł wnioskowania dedukcyjnego (algorytm), jednoznacznej interpretacji 2+2 to zawsze 4.

To porównanie matematyki z szachami może wydać się nieco mylące. Samo zestawienie z szachami już umniejsza matematykę, która jest gmachem bez końca i dzięki której możliwe jest poznawanie takich obszarów rzeczywistości, których poznanie bez matematyki nie byłoby możliwe. 

Wielkim zwolennikiem tezy o matematyczności świata jest ks. prof. Michał Heller, który posuwa się nawet do twierdzenia, że „Gdyby nie matematyka, świata by po prostu nie było.” Bo minimalnym warunkiem istnienia czegoś jest wewnętrzna niesprzeczność, a jeśli byśmy wyrugowali ze świata matematykę i logikę, wówczas, jak uważa,  taki świat byłby wewnętrznie sprzeczny.

Przy czym rozróżnia Heller matematykę przez małe „m” i przez duże „M”. Tę pierwszą, z małej litery, rozumie jako matematykę przez nas stosowaną, zapisaną w książkach o niej, mającej zastosowanie pośrednio w naukach przyrodniczych, można powiedzieć – zastosowanie praktyczne.  I ta matematyka jedynie nieudolnie przybliża tę przez duże „M”, której sposób istnienia przypomina trochę idee platońskie. Zresztą – sam Heller jawnie do platonizmu w tym zakresie się odwołuje. Matematyka przez małe „m” jest fragmentem tej dużej, tego wzorca, wg którego matematyka może być tworzona. Mówiąc o matematyczności przyrody ma na myśli matematykę przez duże „M”, jako wzorca, który posłużył do jej „budowy”. Pobrzmiewa to nie tylko platonizmem, ale wręcz pitagoreizmem.

Pewnym podsumowaniem tematu matematyczności świata niech będą słowa ks. prof. Hellera, iż  „Matematyka jest językiem wszechświata. W tym ogromnym bezładnym wysypisku gwiazd panują bardzo ścisłe prawa, które dostrzegamy nie tylko oczami, ile poprzez matematykę”. Matematyka to jednocześnie narzędzie poznawcze, które zastosowane do świata przyrody pozwala dostrzec w niej znacznie więcej, niżby to było możliwe bez niej.  

Należy jednak przy tym dodać, że teza o matematyczności świata ma charakter metafizyczny, za którym, owszem, przemawiają rozmaite racjonalne argumenty, jednak nie należy jej traktować, jako definitywnie udowodnionej.

Pitagorejczycy, dla których matematyczność świata była oczywistością,  nazwali go kosmosem. Pojęcie to miało wyrażać jego ład, harmonię i piękno odwzorowujące porządek świata liczb. Kosmos był przeciwieństwem chaosu, a jego harmonia odmierzona właściwą miarą wyrażała piękno. Z tego pierwotnego znaczenia zostały współcześnie głównie kosmetyki. Choć idea piękna w matematyce i matematycznym opisie zjawisk fizycznych przetrwała, a nawet stała się jednym z kryteriów oceny, czy tworzony opis matematyczny jest poprawny, czy też należy szukać dalej lepszego. Tak np. o równaniach ogólnej teorii względności mówi prof. Meissner, mówiąc o nich, że są niesłychanie piękne i eleganckie.

 

Pomiar jako warunek matematyzacji nauk przyrodniczych

Większość z nas kojarzy matematykę przez pryzmat jej praktycznej użyteczności. Coś przeliczyć na szybko, rachunek ekonomiczny, statystyka,  inżynierowie obliczający nośność mostu, trajektorię lotu. Kojarzy się z formułami, w których zaklęte są prawa przyrody, jak choćby zapis prawa powszechnego ciążenia Newtona, ujęte potem znacznie szerzej jako prawo grawitacji w formie odmiennego zapisu matematycznego (wzory) przez Einsteina (ogólna teoria względności).

Ponieważ matematyka to wzorzec pewności (dedukcja) i ścisłości (uznaje jakieś twierdzenia tylko wówczas, gdy zostały one dowiedzione zgodnie z regułami dowodzenia), dlatego wśród scjentystów, począwszy już od Galileusza i Newtona, pojawiło się hasło nawołujące do umatematycznienia wszelkich dziedzin naukowych, zwłaszcza przyrodniczych. Jednak warunkiem tego jest ujęcie przedmiotu tych nauk przy pomocy liczb. Pisząc o liczbach dokonuję oczywiście pewnego skrótu myślowego, mając na myśli wszelkie wielkości, jakimi operuje się w matematyce (zbiory, grupy, ciągi itp.). W związku z tym np. o fizyce, która jest uznawana za rodzaj archetypu dla wszystkich nauk umatematycznionego przyrodoznawstwa, mówi się, że jest nauką ilościową.

Jeśli dobrze rozumiem tezę Hellera o matematyczności świata, polega ona na tym, że jego struktura jest zbudowana na wzór struktur matematyki.  Jednak równie mocno narzuca się przypuszczenie, które uczynił już Arystoteles, że matematyka nie przystaje jednoznacznie do rzeczywistości, w związku z czym musimy postrzeganą rzeczywistość fizyczną „poddać” pewnym zabiegom.

Dzięki czemu możliwe jest skuteczne (np. w fizyce) używanie matematyki? Warunkiem umożliwiającym użycie matematyki do badania otaczającego nas zmysłowego świata jest pomiar, który ma doprowadzić do ujęcia rzeczywistości fizycznej przy pomocy liczb.

Jak już pisałem przy okazji „matematyczności” świata, jedną z najbardziej zadziwiających rzeczy związanych z matematyką, jest jej niezwykła zdolność do precyzyjnego ujmowania rzeczywistości fizycznej, do skutecznego stosowania jej formuł w pozostałych naukach. Właściwie trudno byłoby sobie wyobrazić niezwykły rozwój nauki, jaki nastąpił w cywilizacji zachodniej, nie mający nigdy w dziejach człowieka precedensu, bez niezwykłego rozwoju i zastosowania matematyki. Bez niej byłoby to nie do pomyślenia.

Jak to w ogóle możliwe, że - wydawałoby się całkiem oderwane od realnego życia formułki i twierdzenia matematyczne - tak doskonale pasują do rzeczywistości, którą próbuje opisać fizyka lub chemia. Jak możliwym jest, że przekształcając równania matematyczne i stosując je np. do jakiejś teorii z zakresu fizyki, pozwala uzyskać nam całkowicie nowy wgląd w tę rzeczywistość, wydobyć z niej nowe aspekty, które wcześniej umykały. Pytania te w jakiejś mierze są pochodną pytań o to, czy i dlaczego świat może być dla nas zrozumiały, racjonalny.

Jak to możliwe, że (jak to wyraził jeden z wielkich matematyków, Georg Cantor)„liczby całkowite, podobnie jak i ciała niebieskie, tworzą za pomocą praw i relacji pewien stały porządek”.

Tam gdzie mamy do czynienia z jakościami a nie ilościami, tam trudno zastosować matematykę., jednak fizyka traktuje wyłącznie o wielkościach. A wielkości to coś, co można zmierzyć i opisać ilościowo.

Te ilościowe miary nie zawsze muszą być wyrażone w liczbach, mogą to być konstrukty typu wektor.

Do pomiaru wielkości niezbędna jest jej skala. Dla zilustrowania tego można się posłużyć skalowaniem wielkości określanej mianem długości. Długością danego odcinka nie jest żadna liczba, lecz wspólna własność wszystkich odcinków przystających do wybranego przez nas. Dobrym przykładem konstrukcji skali jest wzorzec metra z Sevres, o którym uczyliśmy się kiedyś w szkole. Mówiono wówczas, że wzorzec ten jest wykonany ze specjalnego stopu platynoirydowego, dzięki czemu jest mało podatny na odkształcanie się. Ale tak naprawdę, to wzorcem przyjętej skali była 1/10.000.000 długości połowy południka przechodzącego przez Paryż (od równika po biegun) i tę skalę właśnie miał odzwierciedlać tzw. wzorzec z Sevres. Jednak i to się już zmieniło, gdyż od  2019 roku definitywnie przeszliśmy na nowy układ miar (SI), gdzie stare wzorce zastąpiono stałymi takimi jak stała Plancka czy prędkość światła. I tak obecnie metrem jest długość drogi przebytej przez światło w próżni w czasie 1/299.792.458 sekundy.

Gdy mamy już skalę i wzorzec, np.  metr, możemy różnym długościom przypisać liczby – że np. od domu do płotu jest 10 metrów, a szerokość blatu biurka to jedynie ½ metra (50 cm), z kolei z miasta X do Y jest 10 tyś metrów (10 km). Podobnie z innymi skalami i wielkościami, o których mowa jest w Międzynarodowym Układzie Jednostek Miar (SI).

Sprawę znaczenia pomiarów mogą nam zobrazować dobrze znane każdemu zadania o pociągach, które były zmorą wieku szkolnego. W zadaniach tych podstawową rolę odgrywał właśnie pomiar i to dzięki niemu możliwe było ich rozwiązywanie. Brzmiały jakoś tak, że z miasta X do miasta Y wyruszał pociąg o tej i o tej godzinie, jadący z prędkością 60 km/h, a z miasta Y w odwrotnym kierunku jechał pociąg z prędkością 80 km/h, a pytanie zazwyczaj brzmiało – po jakim czasie się miną i w jakiej odległości od jednego z miast. A, i jeszcze była dana odległość. Wszystkie te wielkości, które w tych zadaniach występują, jak odległości, czas, prędkość – są wynikiem pomiarów, którym zostały już przypisane liczby, a skoro mamy do czynienia z liczbami, to możemy użyć skutecznie formuł matematycznych i wyliczyć precyzyjnie rozwiązania (po wcześniejszym sprowadzeniu wielkości liczbowych do wspólnego mianownika, by liczby wyrażały te same wielkości – np. odległość lub czas).

Tak czy inaczej, każdy pomiar, nawet najbardziej skomplikowany, możliwy jest dzięki wmontowaniu w jego konstrukcję wzorca i porównania z nim wielkości mierzonej, a skalą wielkości będzie funkcja, która w oparciu o wzorzec przyporządkowuje mierzonym wielkościom liczby.

Mając do zjawisk fizycznych przypisane w ten sposób liczby, można wykonywać na nich (tj. liczbach) rozmaite operacje matematyczne. Analogicznie jak w przypadku metodologii pomiaru długości mają się sprawy z innymi wielkościami, które dają się opomiarować, a w konsekwencji przedstawić przy pomocy liczb lub innych matematycznych narzędzi.

W XIX wieku, wieku pod znakiem scjentyzmu, dominował pogląd, że np. teorie fizyki formułowane przy wykorzystaniu narzędzi matematycznych, to w gruncie rzeczy odpowiednio zinterpretowane na gruncie fizyki twierdzenia matematyczne, której to interpretacji nie mogła dać „czysta” matematyka. Obecnie dominuje pogląd, wg którego żadne twierdzenia z obszaru matematyki nie stają się twierdzeniami fizyki, niezależnie od ich interpretacji.

Prof. Nowaczyk, filozof matematyki, formułuje to tak: „Korzystanie z matematyki w naukach ścisłych ma w istocie dwa aspekty. Pierwszy polega na zastosowaniu gotowego już, a przy tym bardzo ścisłego języka matematyki, dysponującego przystosowaną do operacji rachunkowych i w dużym stopniu „standaryzowaną”symboliką. Aspekt drugi zasadza się na wykorzystaniu twierdzeń matematycznych jako przesłanek przy wyprowadzaniu wniosków. Jedno i drugie nie byłoby możliwe, gdyby nie to, że pomiar dostarcza reprezentacji przedmiotów i zjawisk fizycznych w postaci odpowiednich liczb i konstruktów liczbowych. Formuły matematyczne, którymi posługuje się fizyka nie mówią więc wprost o obiektach fizycznych, lecz o reprezentujących je obiektach matematycznych. Owe formuły, to zazwyczaj różnego rodzaju równania.”

Pomimo tych rozmaitych zastrzeżeń fizycy mówiąc o jakimś twierdzeniu z zakresu fizyki, najczęściej utożsamiają je z jakimiś układami równań matematycznych, nazywając te równania prawami fizyki (np. prawo ciążenia Newtona). Jednak w rzeczywistości te matematyczne modele „praw przyrody”, jakimi są te równania, wymagają dodatkowego komentarza ze strony fizyka, dodatkowych założeń jak np. to, że oprócz tego, co wyraża równanie trzeba jeszcze uwzględnić wiele innych elementów, jak np. konieczność abstrahowania a to od tarcia, a to od oddziaływań innych obiektów, że mierzymy to w takiej a takiej skali itd.

Ponownie przywołam tu Prof. Nowaczyka, który fachowo wyjaśnia, że „(…) obraz fizyki jako dyscypliny, której rola polega na tworzeniu modeli matematycznych pewnych zjawisk przyrodniczych. Model taki jest tylko narzędziem poznania rzeczywistości; wiedzę o niej możemy uzyskać, wyznaczając klasę zjawisk, do których model taki „stosuje się”, co zazwyczaj oznacza, że pozwala on odpowiednie zjawiska wyjaśniać, przewidywać i — w razie potrzeby — wywoływać lub im zapobiegać. Taki przewidywany lub postulowany zakres adekwatnych zastosowań danego modelu powinien być opisany w sposób od niego niezależny, a adekwatność polega tu na ogół na tym, że model stosuje się z „zadowalającym przybliżeniem”, co może oznaczać różne stopnie przybliżenia w zależności od zagadnienia, które rozwiązać zamierzamy.”

Nakreślony powyżej obraz fizyki, jako nauki dostarczającej jedynie modeli matematycznych, a nie jednoznacznych „praw przyrody”, jak chcieliby widzieć to scjentyści, rozchodzi się z powszechnymi wyobrażeniami na ten temat. Jeśli więc w wyniku przeprowadzonego doświadczenia okaże się, że stoi ono w sprzeczności z jakąś teorią naukową, to nie tyle ono „obala” formułowane przez tę teorię prawa, lecz pewien model matematyczny, gdyż fizyka jako nauka dostarcza przede wszystkim modeli matematycznych. Doświadczenie „obalające” mówi nam jedynie o tym, że dany model matematyczny ma węższe zastosowanie, nić początkowo sądzono (np. matematyczny model Newtona ma węższe zastosowanie niż matematyczny model grawitacji Einsteina).

Piszę o fizyce, która jest niedościgłym wzorcem dla pozostałych nauk przyrodniczych, jednak możemy śmiało rozszerzyć to spojrzenie również na inne nauki, dla których możliwy jest pomiar i które wykorzystują narzędzia matematyczne.

Tak więc matematyka jest wykorzystywana przez nauki przyrodnicze jako szczególnego rodzaju narzędzie, min. do budowy modeli matematycznych, jednak równie często stanowi inspirację dla nauki, zwłaszcza gdy naukowiec zgadza się z tezą, którą wysuwa min. prof. Heller o matematyczności świata i jego struktur, które odzwierciedlają struktury matematyczne.

Prof. Heller nie był w tym zresztą pierwszy, gdyż (jak z większością współczesnych poglądów) już przemyślni starożytni  Grecy to twierdzili, przede wszystkim pitagorejczycy i Platon oraz jego spadkobiercy w Akademii Platońskiej. Do tego wątku jednak nawiążę w dalszej części. 

A tę część zamknę konkluzją, że - jak twierdzą sami fizycy - współczesnej fizyki teoretycznej nie da się wyrazić w terminach czysto obserwacyjnych. Niezbędna jej jest matematyka, gdyż innym językiem niż matematycznym nie da się wyrazić w pełni i adekwatnie takich teorii, jak np. fizyka kwantowa.

 

Matematyka jako teoria.

Jednak matematyzacja nauki, wykorzystanie jej przykładowo w fizyce,  to są jedynie zastosowania matematyki, a nie czysta matematyka, z jej ogromnym gmachem coraz bardziej rozbudowywanych działów, teorii, twierdzeń itp.

Matematycy mówiąc o przedmiocie swych badań, mówią o teorii lub teoriach matematycznych. Teoria matematyczna jednak zasadniczo się różni od tych z obszaru nauk przyrodniczych, takich jak fizyka czy chemia.

Dziś, gdy mówimy o teorii, na ogół mamy na myśli tzw. teorie naukowe. Teoria względności Einsteina , teoria ewolucji Darwina. Należą one do tak zwanych nauk empirycznych (fizyka, biologia), o różnym stopniu ich „umatematycznienia”.  

Teorie w naukach doświadczalnych (przyrodniczych) polegają na budowaniu w oparciu o testowane koncepcje (hipotezy) abstrakcyjnych modeli rzeczywistości. Jeśli jakaś hipoteza jest dostatecznie rozbudowana, tj. w oparciu o nią można przewidywać szereg zjawisk, a w dodatku przejdzie skutecznie przez sito testów sprawdzających, staje się teorią naukową. Teoria taka nie jest jednak wiedzą pewną, a jedynie domniemaną – jak by to wyrazili starożytni Grecy – jest jedynie „doxa”, mniemaniem. Teorie naukowe wyrażają jedynie stan naszej wiedzy na dany moment, choć słowo wiedza nie jest może właściwym, gdyż są to w gruncie rzeczy nasze mniemania, niedoskonałe próby (ujęte jednak w karby dyscyplinującej, racjonalnej metodologii) dotarcia do prawdy.

Swoją drogą, bez idei prawdy i to w klasycznym ujęciu, jakie nadał temu pojęciu jeszcze Arystoteles, a więc prawdy jako zgodności poglądu z rzeczą, a w nauce zgodności teorii naukowej z rzeczywistością przez nią opisywaną – bez tej idei nauka zamieniłaby się co najwyżej w magię. Jeśli przyjrzymy się nauce, zwłaszcza jej praktycznemu, użytkowemu obliczu z jednej strony i magii z drugiej, to możemy zauważyć, że pod względem funkcjonalnym właściwie się nie różnią. Jedna i druga próbuje manipulować rzeczywistością. To co odróżnia naukę od magii, to właśnie dążenie do prawdy. Przynajmniej jeśli chodzi o nauki teoretyczne, bo z tymi stosowanymi nie mam już pewności. Zresztą – nauki stosowane nie mają za zadanie tworzyć teorii, ale je stosować, jak nazwa wskazuje.

Od teorii naukowej oczekuje się pewnego stopnia abstrakcji (abstrakcyjny – z łaciny, a pośrednio z greki – tyle, co odciągnięty od rzeczy, wydobywający z pojedynczych rzeczy ich cechy wspólne) i ogólności w stosunku do pojedynczych zjawisk. Dotyczy to wszelkich nauk, również i tych, które bardzo słabo ulegają umatematycznieniu, jak przykładowo literatura (na szczęście) lub historia, w których ilościowe podejście nie sprawdza się, gdyż mamy w nich do czynienia z jakościami (dobro, piękno itp.).

W matematyce znaczenie pojęcia „teoria” znacznie się różni od tego, w jakim jest używane w pozostałych naukach, poza matematyką. 

Mówiąc o teorii matematycznej nawiązuje się do  znaczenia tego pojęcia („teoria”) u starożytnych Greków, u Arystotelesa, do episteme, czyli takiego poznania, które daje wiedzę pewną, w przeciwieństwie do doxa (przypuszczeń, mniemań). Teoria tak rozumiana miała dawać wiedzę konieczną, istotną i ogólną, wiedzę, której możemy być pewni. Zdaniem starożytnych było to możliwe dzięki temu, że teoria, spełniająca wymagania episteme, miała być oparta na „pierwszych zasadach”, aksjomatach, czyli twierdzeniach oczywistych, nie wymagających udawadniania, z których na drodze dedukcji można wywieść koniecznie prawdziwe wnioski, które z tych aksjomatów wynikają. 

Przy takim rozumieniu terminu, matematyka jest teorią. Można jeszcze do tego dodać, że jest teorią sformalizowaną poprzez sformułowanie jej w języku zredukowanym do jednoznacznych symboli, pozwalającymi bardzo lapidarnie ująć bardzo skomplikowane zagadnienia. Opracowanie symbolicznego języka matematyki umożliwiło formalizację teorii matematycznych. Jednak dążenie do formalizacji ma swoje ograniczenia, o czym mówią twierdzenia Gödla. Ale o tym później.

Teorie matematyczne są teoriami opartymi na aksjomatach, z których w drodze dedukcji wywodzone są rozmaite twierdzenia, z których budowany jest następnie gmach matematyki. Choć powstaje tu pytanie – czy jest to gmach budowany przez zmyślność człowieka, a więc stwarzany, czy też jest jedynie odkrywany stopniowo, odsłaniany przed oczyma człowieka, a ten jest, jako matematyk, jedynie odkrywcą, jak nie przymierzając do niedawna np. słynni podróżnicy, jak Kolumb, odkrywający nieznane lądy?

Podstawową rolę pełnią tu aksjomaty. Czym są aksjomaty? Ogólnie biorąc, są to twierdzenia (zdania) w teoriach (systemach) dedukcyjnych (a więc przede wszystkim matematyce) przyjmowane za prawdziwe bez konieczności ich dowodzenia. Tak w każdym razie określano aksjomaty od czasów Euklidesa po wiek XVIII. Od XIX w.  definicja aksjomatów nieco się zmieniła – są to wyodrębnione zdania (twierdzenia) danej teorii, z których wynikają wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Oczywiście nie podlegające dowodzeniu. Można więc powiedzieć, że aksjomaty są to założenia, które stanowią fundament każdego systemu dedukcyjnego, a ponieważ my tym założeniom zawierzamy, to idąc dalej można pokusić się o stwierdzenie, że każdy racjonalny system oparty jest ostatecznie o pewne akty zawierzenia, innymi słowy - wiary. Jednak ktoś mógłby przed takim mocnym postawieniem sprawy bronić się argumentując, że zawierzenie aksjomatom nie jest przypadkowe i w gruncie rzeczy opiera się na akcie poznania doświadczając ich (aksjomatów) jako oczywistości, a oczywistość nie podlega dowodzeniu, bo jest oczywista. Porzućmy jednak tę dygresję na inną okazję.

Pierwszą kompletną teorią matematyczną, której wszystkie podstawowe aksjomaty zostały precyzyjnie zdefiniowane, była geometria Euklidesa. Później powstawało jeszcze wiele innych teorii matematycznych, mało kto jednak przywiązywał wagę do precyzyjnego wyodrębniania w ich ramach kompletnych zestawów aksjomatów, na podstawie których teorie te były formułowane (z takimi postulatami występował już Leibniz). Taki stan rzeczy trwał niemal do czasów nam współczesnych, a dokładniej do przełomu XIX i XX wieku. Zaksjomatyzowano wówczas szereg teorii matematycznych. Polegało to na dokładnym ustaleniu podstawowych aksjomatów, czyli zdań uważanych za prawdziwe w sposób oczywisty, nie wymagających dowodzenia tej prawdziwości (arytmetyka Peany, geometria Hilberta, teoria mnogości Zermeli).  

Współcześnie podstawową teorią matematyczną jest teoria mnogości. Sformalizowany i kompletny  (jak się później okaże – z twierdzenia Gödla – nie całkiem) zestaw jej aksjomatów okazał się wystarczającą podstawą dla wszystkich pozostałych teorii matematycznych, a więc dla całej matematyki, gdyż wszystkie jej twierdzenia można było wywieść dedukcyjnie z aksjomatów teorii mnogości. Współcześnie najbardziej znanym „zbiorem” aksjomatów teorii mnogości, po wielu korektach i modyfikacjach, są aksjomaty Zermela-Freankla z dodatkowym aksjomatem wyboru, w skrócie ZFC.

 

Twierdzenia Gödla

Jednym z najbardziej znanych matematyków minionego stulecia był Kurt Gödel, który swymi twierdzeniami zadał cios wizji matematyki jako teorii szczególnego rodzaju, doskonałej, z której twierdzeniami próżno dyskutować, gdyż byłyby to dyskusje przeciw rozumowi, która jest kompletna i całkowita.

Chodzi głównie o jego dwa twierdzenia:

1. niezupełności arytmetyki,
2. o niemożności przeprowadzenia dowodu niesprzeczności w ramach konkretnej teorii matematycznej (np. arytmetyki), które jest konsekwencją twierdzenia pierwszego.

Twierdzenie o niezupełności, udowodnione na gruncie arytmetyki, ale mające w gruncie rzeczy odniesienie do wszystkich rodzajów teorii matematycznych (włącznie z teorią mnogości), mówi, ogólnie biorąc, o tym, że każda sformalizowana teoria matematyczna, szerzej – każdy system dedukcyjny oparty na aksjomatach, nie jest systemem zupełnym. Polega to na tym, że w każdej niesprzecznej teorii matematycznej można sformułować takie zdanie, którego prawdziwości nie będzie można udowodnić, ani obalić. Nie znaczy to, że to zdanie jest nieprawdziwe, a jedynie, że nie można tego udowodnić w ramach danego systemu (teorii).  Można to uczynić dopiero po wprowadzeniu dodatkowego założenia (nowego aksjomatu). Jednak po jego wprowadzeniu sytuacja się powtórzy – bo znajdzie się następne zdanie, którego mimo rozszerzenia zbioru aksjomatów, nie będzie można udowodnić jego prawdziwości, bez wprowadzenia dodatkowego założenia itd. Wniosek taki, że nie da się w ramach teorii matematycznej udowodnić prawdziwości pewnych zdań tej teorii, bez dodatkowych założeń (aksjomatów).

Drugie twierdzenie, o niemożności udowodnienia niesprzeczności wewnętrznej danej teorii matematycznej, jest w gruncie rzeczy konsekwencją twierdzenia pierwszego. Mówi ono, że w ramach danej teorii matematycznej (szerzej – dostatecznie rozbudowanego systemu dedukcyjnego) nie można udowodnić jego wewnętrznej niesprzeczności (spójności). Chcąc przeprowadzić taki dowód,  należałoby poszerzyć system o dodatkowe założenia, jednak wówczas powstaje system, którego niesprzeczności wewnętrznej również nie można udowodnić bez jego poszerzenia – i tak w kółko.

Oba twierdzenia były wstrząsem nie tylko dla matematyków, ale również dla wszystkich luminarzy nauki, gdyż burzyła pewne wyobrażenie na temat matematyki, jako teorii w gruncie rzeczy zamkniętej w obrębie ograniczonej liczby aksjomatów, z których w drodze dedukcji budowany jest kompletny gmach matematyki. Okazało się to fałszywą wizją.   

Czy należy z tego wyciągać wniosek, że twierdzenia  Gödla świadczą o ograniczonych możliwościach poznawczych człowieka?  Myślę, że do pewnego stopnia tak jest, gdyż można je odnieść do wszelkich dostatecznie rozbudowanych systemów dedukcyjnych, na których opieramy swe racje i ogólnie racjonalizm, a w każdym razie skłaniają do większej pokory poznawczej. Z drugiej strony wnoszę również pewien optymizm wynikający z faktu, że nie da się zamknąć naszego rozumu dociekającego prawdy w zamkniętym pudełku aksjomatów. Jednak z faktu, że  nie można przeprowadzić matematycznego dowodu jakiegoś twierdzenia bez dodatkowego założenia (aksjomatu), nie wynika, że to twierdzenie jest nieprawdziwe, a jedynie. że nie ma możliwości udowodnienia tej prawdziwości. Innymi słowy, jak ujmują to sami matematycy – dowodliwość w matematyce jest słabsza od prawdziwości.

Jeszcze raz przywołam tu autorytet prof.. Adama Nowaczyka, który w swoim „Wprowadzeniu do filozofii matematyki” ujmuje ten problem następująco: „Z twierdzenia Gödla o niezupełności wyprowadza się często wnioski natury filozoficznej mówiące o ograniczoności możliwości poznawczych umysłu ludzkiego. Wnioski te są ryzykowne, ponieważ twierdzenie Gödla dotyczy wyłącznie efektywnych metod rozstrzygania o prawdziwości twierdzeń na podstawie aksjomatów. Nie mówi ono nic o sposobach ustalania prawdziwości aksjomatów, a — jak wiadomo — matematycy często rozszerzają istniejące teorie, wzbogacając je o nowe aksjomaty.”

Dodatkową konsekwencją twierdzeń jest  wniosek dla programistów komputerowych, że  nie da się skonstruować takich programów na „maszynie Turinga” (komputerze), by zdołała ona rozstrzygnąć wszystkie problemy matematyczne.  Czyli zawsze będą istnieć takie problemy, których nie będzie można rozstrzygnąć na komputerze.

 

Abstrakcyjność matematyki

Powszechnie uważa się, że przedmioty, którymi zajmuje się matematyka, są abstrakcjami. Wyrażane jest to najczęściej w formie skrótu myślowego, że matematyka jest abstrakcyjna.  Jednak nie całkiem jest jasne, o co w tym chodzi. Przy bliższym przyjrzeniu się sprawie, przestaje to być takie oczywiste, a w każdym razie przestaje być jednoznacznym.  Jak należy to rozumieć?

Słowo „abstrakcja” nabrało w ciągu wieków wielu znaczeń.

Współcześnie mówiąc potocznie o abstrakcji zazwyczaj mamy na myśli to, co ogólnikowe, niekonkretne, oderwane od zmysłowej rzeczywistości, od konkretu. Tym tropem, mam wrażenie, poszedł tzw. abstrakcjonizm w sztuce, w którego obrazach trudno jest odnaleźć  jakieś odzwierciedlenie otaczającej nas konkretnej rzeczywistości.

Gdy zagląda się do słowników w poszukiwaniu źródeł słowa abstrakcja, to zazwyczaj mowa w nich o tym, że to słowo łacińskie, jednak samo pojęcie pochodzi jeszcze z greki i tłumaczone jest jako odrywanie, oddzielanie, zatrzymywanie. Łacinie przyswoił je Boecjusz (za Powszechną Encyklopedią Filozofii wydaną przez Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu).

Abstrakcyjny, to  będący wynikiem „abstrahowania”, a abstrahować znaczy w skrócie tyle, co „odciągać od rzeczy”, odcinać od niej to, co nieistotne. Najpełniej pojęcie abstrakcji rozwinął Arystoteles, na kanwie polemiki z Platonem dotyczącej matematyki właśnie. Arystoteles doszedł do wniosku, że przedmioty matematyczne powstają wskutek „oderwania od rzeczy” (abstrahowania) przez intelekt form (istoty) określających ilościowe uporządkowanie rzeczy jednostkowych. Krytykując platońską koncepcję liczby  proponuje własną, że jest  ona wynikiem procesu abstrahowania intelektualnego, a więc nie może być bytem samoistnym. Koncepcja tak rozumianej abstrakcji, rozszerzonej na inne niż matematyka obszary, stała się u Arystotelesa generalnie jedną z podstawowych metod poznania.

Ogólnie biorąc starożytni ujmowali pojęcie abstrakcji w procesie poznania (abstrahowanie), rozumianego jako poszukiwanie istoty rzeczy, że jest to odcięcie tego, co w rzeczy nieistotne.

Mówiąc o matematyce, możemy chyba mówić o dwóch sposobach rozumienia pojęcia abstrakcja:

1. pierwszy, podążający śladem Arystotelesa, w którym abstrakcja rozumiana jest jako wynik abstrahowania od konkretu, od przedmiotów jednostkowych i wydobywanie z nich tego co istotne, co ogólne; 
2. drugi sposób nazwałbym „technicznym”, uproszczonym; określa przedmioty jako abstrakcyjne w rozumieniu – oderwane od świata zmysłowego; czyli przedmioty niematerialne;

Pierwszy sposób rozumienia abstrakcji jest obecny np. w naukach przyrodniczych. Utkwiły mi w pamięci niektóre z lekcji fizyki w liceum, na których były przeprowadzane tzw. eksperymenty. Nauczyciel zawsze wówczas dodawał, że należy abstrahować - a to od tarcia powietrza, a to od ciśnienia, ciążenia, wpływu tego lub owego i dopiero wówczas będzie nam się doświadczenie zgadzało z ilustrowanym nim prawem fizyki.  Z tak rozumianej abstrakcji konceptualiści (średniowiecze) wyciągnęli dalej idące wnioski niż Arystoteles dochodząc do wniosku, że abstrakcje są bytami, które istnieją tylko w naszym umyśle i poza nim ich nie ma.

Drugi zaś, „techniczny” sposób określa przedmioty, którymi zajmuje się matematyka, bez rozstrzygania o ich statusie ontycznym, czyli o ich realnym istnieniu. Przedmioty matematyczne, w odróżnieniu od innych nauk, są abstrakcyjne w takim właśnie rozumieniu, jako niematerialne.

W dalszej części, gdy będę mówił o matematyce lub jej przedmiotach jako abstrakcjach, będę się odwoływał głównie do rozumienia określonego jako „techniczne” (drugie).

Wspomnę jeszcze tylko, że innym oświetleniem zagadnienia jest zdefiniowanie przedmiotów abstrakcyjnych jako przedmiotów ogólnych, pojęć zwanych uniwersaliami (w przestrzeni zmysłowej możemy się zetknąć tylko z przedmiotami konkretnymi, które są pojedyncze).

 

Czy matematyka jest odkrywana, czy tworzona?

Innymi słowy, czy jej istnienie jest niezależne od człowieka i prowadzonych przez niego dociekań w jej ramach? Albo jeszcze inaczej – jaki jest status ontyczny przedmiotów matematycznych?

Odpowiedzi na te pytania, jakich udzielają sami matematycy są bardzo zróżnicowane. W sprawie istnienia przedmiotów matematycznych sami matematycy i filozofowie matematyki, na ile udało mi się zorientować, nie mają jednolitego poglądu. Na ogół wahają się między dwoma skrajnymi spojrzeniami:

1. przedmioty matematyczne nie istnieją realnie; takie stanowisko zajmuje nurt w filozofii matematyki, zwany formalizmem, ale bliski jest mu również intuicjonizm, który nawiązuje do konceptualizmu.
2. przedmioty matematyczne istnieją obiektywnie, niezależnie od człowieka, który co najwyżej je odkrywa; przedmioty te istnieją realnie; pogląd taki jest często określany platonizmem matematycznym, gdyż w dużej mierze nawiązuje do koncepcji samego Platona, w którego Akademii matematyka cieszyła się szczególnymi względami; ustalenia matematyki mają walor uniwersalności;

Formalizm w matematyce jest stanowiskiem negującym realne istnienie przedmiotów matematycznych. Odpowiada on nominalizmowi w sporze o uniwersalia.  Wg formalizmu nie ma żadnych obiektów matematycznych, a „matematyka jest pozbawioną znaczeń grą na symbolach”. Czysta matematyka, jako teoria w pełni sformalizowana, składa się z formuł, przekształcanych zgodnie ze zdefiniowanymi ściśle formalnymi regułami, które same w sobie nic nie znaczą, ponieważ nie mają żadnej interpretacji ściśle matematycznej, bo taka nie istnieje. Czyli przedmioty matematyczne realnie nie istnieją, a są jedynie rodzajem konwencji; tak uważał słynny matematyk David Hilbert oraz tzw. formaliści, ale również  Einstein, który prywatnie przyjaźnił się Gödlem, choć w sprawie natury matematyki stali po przeciwnych stronach. 

Czy gdyby matematyka była czymś li tylko formalnym, której przedmioty „istnieją” tylko na mocy przyjętej konwencji, umowy, zasad „gry” matematycznej, z przyjętymi powszechnie zasadami przekształceń (logiki matematycznej), której przedmioty, a więc to, czym się zajmuje, realnie nie istnieją – czy tak rozumiana matematyka rzeczywiści mogłaby mieć zastosowanie do świata realnego? Czy można tak pojmowaną matematykę można sensownie uzasadnić?

Diametralnie odmienne stanowisko w tej sprawie zajmuje tzw. platonizm matematyczny. Wg niego przedmioty matematyczne istnieją realnie, obiektywnie, niezależnie od człowieka, który co najwyżej je odkrywa, poznaje. Do zwolenników takiego poglądu należał min. Kurt Gödel, o którego roli w matematyce już wspominałem, a który w refleksji na matematyką inspirował się, prócz pitagoreizmu i Platona, również fenomenologią i publikacjami Edmunda Husserla.

Wielu matematyków wspomina w wywiadach lub własnych publikacjach, że zajmując się matematyką mają szczególnego rodzaju intuicyjne doświadczenie obcowania z realnymi przedmiotami, niezależnymi od ich świadomości, choć nie podpadającymi pod zmysły, których sposób istnienia jest poza czasem i przestrzenią. Kurt  Gödel pisał o tym: „Niezależnie jednak od tego, że obiekty teorii mnogości są tak odległe od doświadczenia zmysłowego, w jakiś sposób je postrzegamy, o czym świadczy fakt, że aksjomaty narzucają się nam jako prawdziwe. Nie widzę żadnych racji, dla których mielibyśmy mieć mniejsze zaufanie do tego rodzaju percepcji, to znaczy do intuicji matematycznej, niż do percepcji zmysłowej, która skłania nas do budowania teorii fizycznych i do oczekiwania, że przyszłe dane zmysłowe będą z nimi zgodne, oraz do wiary w to, że pytania, które są teraz nierozstrzygalne, zostaną być może rozstrzygnięte w przyszłości”.

Georg Cantor, uważany za głównego twórcę teorii mnogości (choć w kontekście jego poglądów należałoby mówić o odkryciu teorii mnogości), a jednocześnie za reprezentanta platonizmu w matematyce, mówiąc o swoich pracach stwierdzał, że jest w nich tylko „sprawozdawcą”

Roman Ingarden, który również zajmował się tymi zagadnieniami uważał, że stanowisko odmawiające matematyce posiadania obiektywnej treści wiązało się (i wiąże) z dominującymi tendencjami we współczesnej filozofii matematyki, którą zajęli się, jak pisze, „mistrzowie dedukcji”, bez większego rozeznania w innych działach filozofii. Postrzegał to w pewnego rodzaju ciągu zależności - upadek idealizmu niemieckiego doprowadził do sceptycyzmu, ten do empiryzmu, a w dalszej konsekwencji do konwencjonalizmu.

Można chyba powiedzieć bez obawy błędu, że filozofie stojące za prawicowymi światopoglądami, nazwijmy je „prawicowe”, są na ogół zwolennikami obiektywnego istnienia matematyki, a „lewicowe” odmawiają jej takiego istnienia.

Ciekawe, że w języku naturalnym, używanym przez nas na co dzień,  mówiąc o  prawach w nauce, intuicja językowa ujmuje nowe prawa, np. przyrody, ale i matematyki, jako odkrywane. To w jaki sposób nasz język ujmuje rzeczywistość jest bardzo wiele mówiącym o niej. Nie przypadkiem w filozofii i nauce tak często odwołują się do etymologii jakiegoś słowa, pojęcia, gdyż bardzo wiele może ono nam oświetlić z przedmiotu, do którego się odnosi. A jeśli tak, jeśli prawa są odkrywane, , to muszą one istnieć również i przed ich odkryciem. W przeciwnym razie byłyby one tworzone lub wręcz stwarzane, czyli powoływane do istnienia, do życia. Analogią niech tu będzie np. odkrycie Ameryki przez Kolumba. Odkrył ją, gdyż istniała już wcześniej i istniałaby dalej, nawet gdyby jej nigdy nie odkrył. Kolumb nie tworzył Ameryki.

           

Natura poznania matematycznego

Matematyka, jako teoria czysta i  doskonała, była od starożytności uważana za wiedzę pewną i koniecznie prawdziwą, w odróżnieniu od wiedzy empirycznej, mogącej wprowadzać w błąd. Była wiedzą aprioryczną, nie wymagającą żadnego potwierdzenie w doświadczeniu.

Źródła tej wiedzy np. Platon doszukiwał się w bezpośrednim oglądzie przez duszę świata idei matematycznych przed narodzinami, dla św. Augustyna odkrywanie prawd matematycznych było partycypowaniem w myślach Boga.

Do dziś bliskie jest wielu matematykom stanowisko Kanta, który  uważał, że twierdzenia matematyczne są sądami syntetycznymi a priori, których podstawy znajdował w apriorycznych formach naoczności – czasu i przestrzeni. Wszystko, co zmysłowo postrzegamy, ujmujemy w czasie i przestrzeni, a więc „po kolei” oraz „obok siebie”. Tak właśnie matematyka ujmuje rzeczywistość – „po kolei”, poprzez liczbę (np. arytmetyka), natomiast „obok siebie” umieszcza rzeczy geometria. W ten sposób wyjaśnia on matematyczność świata – nie tyle jest on sam w sobie matematyczny, co my projektujemy matematyczność naszych form naoczności na świat. Tę kantowską interpretację geometrii jako przestrzeni fizycznej podważyły dopiero powstałe w XIX wieku tzw. geometrie nieeukidesowe, które okazały się bardzo przydatne przy teorii Einsteina.

Tak więc u Kanta źródłem aksjomatów były pewne aprioryczne kategorie umysłu (związek przyczynowo-skutkowy, jedność, wielość itd.) oraz aprioryczne formy naoczności. Jednak konkluzja poznawcza wydaje się być pesymistyczna, gdyż poznajemy tyle z rzeczy samej w sobie (taką jaka ona jest sama dla siebie) ile sami w nią włożymy (projektujemy na świat wnętrze własnego umysłu). Tak nawiasem, gdy o tym piszę, to przypomina mi się piosenka Jana Wołka „Do jednego wariata, co za mną lata”, w której podmiot liryczny projektuje treści swojego schizofrenicznego umysłu na otaczający go świat.   

Inne podejście do poznania matematycznego proponował konwencjonalizm, za którego twórcę uznaje się słynnego matematyka, fizyka, filozofa Henri Poincarégo.  Opierając się na swoim bogatym doświadczeniu twierdził, że np. wybór na potrzeby fizyki którejś z geometrii (euklidesowej lub nieeuklidesowych) ma charakter arbitralny i jest powodowany głównie wygodą badacza i przydatnością dla konstruowanej teorii, a nie żadnymi innymi względami.
A aksjomatom przypisuje się prawdziwość na mocy przyjętej konwencji, czyli umowy między matematykami i fizykami, a nie prawdy obiektywnej.

Bardzo ciekawe badania z zakresu psychologii rozwojowej dziecka prowadził Jean Piaget, który w ich ramach badał szczegółowo przyswajanie pojęć matematycznych przez dzieci. Doszedł on do wniosku, że dużą rolę odgrywa w tym zabawa przedmiotami. W ten sposób dzieci przyswajają sobie np. pojęcie równoliczności. Wraz z rozwojem dziecka, ta kształtowana przez doświadczenia z przedmiotami intuicja matematyczna odrywa się od zastosowań do manipulowania przedmiotami, a dziecko zaczyna się posługiwać symbolami i operacjami na nich już bez udziału przedmiotów fizycznych.

Sam Piaget tak o tym pisał:  „(…) od pewnego poziomu rozwojowego istnieje czysta logika i matematyka, którym doświadczenie staje się niepotrzebne. […] czysta logika i czysta matematyka mogą nieskończenie daleko wykraczać poza doświadczenie: nie są one ograniczone fizycznymi właściwościami przedmiotu.”

Te obserwacje, wskazujące na doświadczenie zmysłowe, jako pierwotne źródło inicjacji w matematykę, pokrywałoby się ze spostrzeżeniami samego Platona, który, wg prof. Bogdana Dembińskiego („O niektórych aspektach platońskiej filozofii matematyki”) , początków matematyki upatruje w obserwacji ruchów ciał niebieskich. Podobne wnioski wyciągają współcześni historycy idei, wskazując na potrzeby mierzenia gruntów (geometria) oraz liczenia w handlu (arytmetyka), a więc praktyczne i zmysłowe źródła inicjacji w rzeczywistość matematyki.

Zwolennicy platonizmu w matematyce, tacy jak  Kurt  Gödel utrzymują, że możliwa jest jednoznaczna interpretacja aksjomatów (np. teorii mnogości lub arytmetyki)  dzięki bezpośredniemu doświadczeniu przy pomocy intuicji matematycznej, która pozwala bezpośrednio uchwycić i doświadczyć przedmiotów tych teorii. Wspomniana intuicja jest rodzajem percepcji (niezmysłowej), która umożliwia bezpośredni ogląd przedmiotów matematycznych, w tym również aksjomatów i  rozstrzygać o ich prawdziwości, ale również zdań od nich niezależnych (omawiane już twierdzenie Gödla o niezupełności), dzięki czemu możliwe jest  rozszerzanie bazy aksjomatów i poszerzanie naszego horyzontu matematycznego.

Podobnie na temat zawartości poznawczej aksjomatów myślał Roman Ingarden. Szedł on jednak jeszcze o krok dalej twierdząc, że występujące w sposób konieczny relacje między składnikami idei matematycznych przenoszą się na konieczne relacje między przedmiotami indywidualnymi (zarówno matematycznymi jak i fizycznymi), które podpadają pod te idee. Ta występująca konieczność, którą można nazwać prawami, może wyjaśnić „niepojętą” skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych.

Generalnie - źródłem poznania w matematyce są aksjomaty, gdyż z nich dedukuje się wszystkie twierdzenia matematyczne, które są jedynie konsekwencjami logicznymi wyciągniętymi z aksjomatów.

 

Platon i pitagorejczycy

W refleksji nad matematyką zadziwiające jest to, że najciekawsze i być może najgłębsze próby jej zrozumienia pojawiły jeszcze w starożytnej Grecji, sformułowane przez pitagorejczyków oraz Platona. Do dziś platonizm, rozumiany często rozmaicie, jest najbardziej reprezentatywnym nurtem wśród matematyków. 

Związek pitagorejski przypominał, jak twierdzą badacze, bardziej zakon lub ruch religijno-mistyczny (spleciony z ruchem orfickim) niż klasyczną szkołę filozoficzną. Po śmierci Pitagorasa podzielili się na akuzmatyków, skupiających się na aspektach religijnych nauki Pitagorasa i na tej drodze oczyszczających duszę oraz na matematyków, którzy chcieli osiągnąć oczyszczenie na drodze kontemplacji bytów matematycznych.

O żywotności idei pitagorejskich może świadczyć powieść Neala Stephensona pt. „Peanatema”, którą nie tak dawno czytałem. Jej akcja dzieje się na wyimaginowanej planecie Arbe, która łudząco przypomina w wielu aspektach ziemię, choć i w wielu się różni. Cywilizacja jest tam stara i przeszła już różne koleje losu, które doprowadziły w końcu do utrwalonego podziału na świat sekularny (świecki) oraz świat matemów, zlokalizowanych w wyodrębnionych terytorialnie i izolowanych (potężnymi murami) od reszty świata tzw. koncentach. W ramach tych koncentów, odgrodzone od siebie wewnętrznymi murami, ulokowane były matemy, zorganizowane w czterech całkowicie od siebie izolowanych grupach: 1 roczny, 10 letni, 100 letni oraz 1000 letni. Podczas tzw. apertów każdy z tych matemów otwierał się na otaczający świat na okres dziesięć dni, po czym ponownie był zamykany, zależnie od rodzaju matemu – na rok, 10 lat, sto i tysiąc lat. Przebywający w matemach deklaranci zajmują się głównie teoryką, czyli wiedzą i refleksją teoretyczną, głównie matematyką i geometrią. Na terenie matemów panuje ścisła i skodyfikowana dyscyplina oraz pewna surowość życia, w którym wygoda nie jest uważana za wielką wartość. Prócz dociekań i kontemplacji matematycznych, które nie mają żadnych praktycznych celów poza dociekaniem prawdy i tym samym uwznioślaniem ducha, wielką wagę przywiązuje się również do różnych, codziennie kultywowanych (dyscyplina) rytuałów o sakralnym charakterze i w oprawie muzycznej, której związki z matematyką są w książce widoczne (muzyka bywa tam nawet formą obliczeń matematycznych). Jednym słowem, bardzo to wszystko przypomina związki pitagorejskie i ich na wpół mistyczny sposób traktowania matematyki (i muzyki). Na to wszystko dodatkowo nakłada się jeszcze odniesienie do Platona i jego świata idei (również tych matematycznych), który nazywany jest w książce Hylaejskim Światem Teorycznym. A przez całą powieść przewijają się wątki dotyczące słynnego sporu o uniwersalia, wraz z krótkimi charakterystykami głównych stanowisk w sporze. Sam autor wydaje się sympatyzować ze stanowiskiem realizmu platońskiego. To chyba główna idea powieści, choć przecież wątków jest daleko więcej.

Refleksja filozoficzna w starożytnej Grecji koncentrowała się wokół poszukiwań arche, czyli podstawowej zasady, która rządzi rzeczywistością, która byłaby wspólnym jej mianownikiem. Pitagorejczycy jako pierwsi wskazali na arche, które nie wywodziło się ze świata zmysłowego, gdyż było liczbą (choć niektórzy, jak prof. Bogdan Dembiński uważa, że jest to błędne; z jego analiz wynika, że arche dla pitagorejczyków była harmonia, czyli to, co powstaje po „nałożeniu” liczby-miary na bliżej nieokreśloną „materię”).

Arystoteles w swej „Metafizyce” tak pisze o nich: „(…) przyjęli pogląd, że zasady z porządku matematycznego są zasadami wszystkich rzeczy. A ponieważ z natury pierwsze w matematyce są liczby, przeto w liczbach raczej niż ogniu, ziemi czy wodzie dopatrywali się oni różnych podobieństw z tym, co jest i co się staje. Uważali, że taka na przykład własność liczby stanowi sprawiedliwość, a taka znów dusze i intelekt, inna zaś jeszcze stosowny czas i tak dalej. Ponadto stwierdzili, że własności i stosunki harmoniczne tonów dają się odwzorować w liczbach. I ponieważ wydawało się im, że natura wszystkich innych rzeczy upodabnia się w całej rozciągłości do liczb, a te są pierwsze w całej naturze, przeto uznali, że elementy liczb są elementami wszystkich rzeczy i że cały Wszechświat jest harmonią i liczbą.”

Zauważyli, że własności rzeczy doskonale mogą być wyrażone przy pomocy liczb. Stąd wyciągnęli wniosek, do którego doszedł współcześnie również prof. Michał Heller, o czym wspominałem, gdy pisałem o „matematyczności” świata.

Liczba jako zasada bytu, jego arche, pełniła podobną rolę jak idee u  Platona, czy później forma u Arystotelesa. Wg nich świat został „harmonijnie zestrojony z ograniczonego i nieograniczonego” jak twierdził jeden z pitagorejczyków – Filolas z Kretony, pierwszy, który udostępnił część nauki pitagorejczyków w napisanych przez siebie księgach. Tym ograniczającym była właśnie liczba, a nieograniczonym (dla pitagorejczyków to co nieograniczone było kojarzone z tym co niedokończone, czyli niedorobione, a więc  niedoskonałe) chaos lub jak później określił to Arystoteles – nieuformowana materia.

Byt wiec składał się z tego co kształtuje (liczba, miara)oraz kształtowanego. Liczba pełni tu funkcję zasady ograniczającej, a tym samym określającej.

Bez tak rozumianej liczby nic nie mogłoby być poznane, gdyż wszystko byłoby nieograniczone niczym, niejawne (aletea – tak Grecy określali prawdę, jako nie skrytość, jawność), nieuformowane, niedostępne poznaniu rozumowemu, racjonalnemu. Tym co nakłada kształtujące liczby na kształtowane jest harmonia. Taki zharmonizowany świat, już po „zabiegu” „nakładania” liczb na „nieokreślone”, nazywali kosmosem.

Liczba podporządkowuje sobie to co przez nią kształtowane. Jeśli więc poznamy liczbę która ukształtowała daną rzecz, to również uzyskamy nad tą rzeczą władzę. Idąc dalej – jeśli poznamy liczby i wzory wyrażające relacje między rzeczami, to uzyskamy również nad nimi pewnego rodzaju władzę manipulowania i przekształcania ich. Przywodzi to na myśl współczesną techniczną cywilizację, ale również Kabałę, z jej zabawami liczbą oraz magicznym przekonaniem, że jeśli się pozna prawdziwe imię czegoś, to tym samy zyska się nad tym władzę. 

A więc liczba jako pewnego rodzaju czynnik porządkujący i rządzący światem.

W pewnym sensie te pitagorejskie koncepcje podjęła nowożytna nauka, która poszła w kierunku badania świata przyrody przy pomocy matematyki.

Wraz z tą szeroką matematyzacją we współczesnej nauce ujawnił się w pełni również aspekt przewidywania rzeczywistości. Na podstawie matematycznych twierdzeń, wzorów czy obliczeń możemy przewidywać rzeczywistość, przewidywać co się będzie działo za jakiś czas. Pojawia się strona praktyczna zastosowania matematyki przez rozmaitych inżynierów, podążających na drodze wytyczanej przez matematyków teoretyków. Dzięki temu „zmatematyzowaniu” świata (bez matematyki nie mogłaby zaistnieć współczesna fizyka kwantowa) potrafimy wykonać wiele rzeczy, jak komputery i oprogramowanie do nich, loty kosmiczne, by podać pierwsze z brzegu przykłady.  Dzięki matematycznym modelom możliwe jest odkrywanie coraz to nowych, niezwykłych właściwości świata przyrody i prawideł nim rządzących. A wszystko dzięki tajemnicy liczby.

 

Podobnym, co pitagorejczycy,  tropem w sprawie matematyki i liczb podążał Platon, zwłaszcza w swej późniejszej nauce, nigdy nie spisanej, której echa jednak do nas docierają poprzez spisane relacje jego uczniów oraz następców w jego Akademii. Dużo miejsca poświęca mu Arystoteles w swej „Metafizyce”. 

Mówiąc o Platonie na ogół rzadko wspomina się o tym, że dla niego matematyka była niezwykle ważna i ściśle spleciona z nauką o ideach.

Znane są relacje mówiące o tym, że przed wejściem do Akademii platońskiej zawieszony był napis: „Niech nie wchodzi u nikt, kto nie zna się na geometrii”.

Następcy (scholarchowie) Platona w Akademią, jak jego siostrzeniec Speuzyp, przekształcili jej profil nauczania całkiem już w kierunku matematyki.

Sam Platon w swym spojrzeniu na matematykę był pod wpływem pitagorejczyków.  W jego  dialogach coraz częściej były eksponowane poglądy pitagorejskie. Pitagorejczyk Filolaos, o którym już wspominałem, spisał nauki pitagorejskie na zlecenie Platona właśnie.

W przypadku Platona można mówić o wielu wpływach na jego filozofię, poczynając od Heraklita, Parmenidesa i Sokratesa, to być może największy wpływ na niego miał właśnie pitagoreizm wraz ze swym orfickim tłem. Liczby wplótł w swój system idei, uznając skonkretyzowane przedmioty matematyczne za przedmioty niepodlegające czasowi, pośrednie między ideami (w tym ideami tychże skonkretyzowanych przedmiotów matematycznych) a nieustannie zmieniającymi się  przedmiotami zmysłowymi (czaso-przestrzennymi)

Arystoteles w „Metafizyce” pisze, że Platon w swych naukach nie spisanych (a jedynie wykładanych w Akademii) przyjmuje koncepcję liczb idealnych, które są ontyczną podstawą konkretnych już przedmiotów matematyki i geometrii. Można to zilustrować na przykładzie (idei) trójkąta - definicja trójkąta jest jedna, natomiast istnieje wiele trójkątów, które spełniają tę definicję.

Wydaje się, że Palaton skorygował swoją pierwotną koncepcję tworzenia się rzeczywistości zmysłowej i wplótł w nią koncepcje pitagorejskie. Skoro liczba stanowi miarę, proporcję liczbową zjawiska, a samo zjawisko zmysłowe jest sformatowaniem przez liczbę nieokreślonego tworzywa, a więc granicy i nieograniczonego, to skoro są to w interpretacji Platona idee matematyczne, tym samym idee inne niż matematyczne (wartości, piękno) oddziaływają na zmienną  rzeczywistość na podobnej zasadzie. Tworzy zjawiska, przedmioty zmysłowe wraz z kształtowanym przez siebie tworzywem w analogiczny do idei-liczby sposób.  Dzieje się to  dzięki proporcji, którą narzuca idea-miara, a którą można ujmować matematycznie. Poznać istotę rzeczy (oraz to, co czyni ją poznawalną) , to dotrzeć do idei-miary danej rzeczy, do jej proporcji. Kultura tamtej Grecji lubiła doszukiwać się we wszystkim właściwych proporcji (harmonii).

Możliwość poznania zjawisk i w ogóle poznawalność możliwa jest dzięki rozpoznaniu granic (idei, ich liczby i rodzaju) określających nieokreślone tworzywo.

W „Państwie” pisze Platon: „[...] bezpieczniej iść przez środek, kiedy się tnie i łatwiej można trafić na idee. A o to tylko idzie w badaniach”. Więc badając świat należy kierować się na proporcjonalny, harmoniczny środek (symetrię?).

Nie uważał, że źródłem matematyki jest abstrahowanie od przedmiotów zmysłowych niektórych ich aspektów, czyli w pewnym sensie operacja intelektualna umysłu. Doświadczenie zmysłowe lub potrzeba (mierzenie gruntów, potrzeby przeliczania w handlu) mogą co najwyżej inicjować i inspirować do poznania matematyki, ale jej nie warunkują. Gdyby było inaczej, i matematyka byłaby zależna od poznającego podmiotu i jego zdolności do abstrahowania , to trudno byłoby wówczas zrozumieć, czym ma być obiektywny ład świata (kosmosu), który istniał wcześniej, przed poznającym podmiotem. Widać, że w takim przypadku sama matematyka straciłaby grunt.

Podsumowując epokę starożytną, prof. Dembiński zwraca uwagę na  dwa przełomowe momenty, jeśli chodzi o matematykę:

• pierwszy dokonuje się, gdy oddziela się ilość czegoś od tego, czego ta ilość dotyczy, czyli proces abstrahowania;
• drugi moment przełomowy, to zakwestionowanie poglądu, że istnieje tylko rzeczywistość jawna; istnieje również ta niejawna i jest ona bardziej podstawową rzeczywistością, od której zależna jest ta zmysłowa, zmienna i dynamiczna rzeczywistość; to zakwestionowanie pierwszeństwa tego co jawne przed tym co niejawne, było równie wielkim skokiem świadomości wg Dembińskiego, co poprzednio przejście do abstrahowania ilości od rzeczy; Grecy poszli tu pod prąd i zaprzeczyli naturalnemu przekonaniu, że powinno się poznawać świat tak, jak się on jawi w naszej świadomości poprzez dane zmysłowe; było to warunkiem pojawienia się dalej nauki i w konsekwencji cywilizacji technicznej i matematyki.

Wiele wskazuje na to, że ma rację, gdyż tylko w świecie greckim matematyka była uprawiana dla niej samej, a nie z pragmatycznych powodów (mierzenie gruntów, handel itp.), jak to było w Egipcie, Babilonie, Indiach czy Chinach. W tych niegreckich kulturach właściwie nie było matematyki we współczesnym rozumieniu, lecz raczej zbiór przepisów i instrukcji do rozwiązywania konkretnych zagadnień. Tylko w naszym obszarze cywilizacyjnym tak istotnym elementem matematyki stał się dowód. Dążono do tego, by każde twierdzenie było udowodnione zgodnie ze sztuką.

Powszechną jest opinia, że matematyka „narodziła się” wraz z dowodem matematycznym, który stał się warunkiem przyjęcia za prawdziwe jakiegoś twierdzenia.

 

Logos i logika.

Jedną z podstaw matematyki, prócz aksjomatów, jest wyciąganie z nich (tj. aksjomatów) rozumnych konsekwencji, zwane dedukcją,  czyli takie rozumowanie logiczne, którego wnioski, oparte na wynikaniu logicznym, zawsze są prawdziwe.  

Wnioskowanie bywa jednak różne, gdyż może być ono subiektywne i obiektywne. Wnioskowanie obiektywne, a o takie chodzi w matematyce, jest wnioskowaniem opartym na wynikaniu logicznym. Czyli rozumowanie dedukcyjne, które jest podstawą wnioskowania w matematyce, to takie wnioskowanie, które wynika w sposób konieczny logicznie z przesłanek.

Logika (czyli to, co zgodne z rozumowaniem),  jako sztuka poprawnego rozumowania, która z czasem nabrała współczesnego znaczenia, jako sformalizowana nauka o racjonalnym (właściwym,  precyzyjnym, zgodnym z regułami) użyciu języka i regułach poznania, wzięła swoje źródło od greckiego logosu. 

W literaturze można się spotkać z opinią, że pierwszy z pojęciem logosu jako siły porządkującej wyszedł  Heraklit. Jak można się dowiedzieć z hasła poświęconego Logosowi w Powszechnej Encyklopedii Filozofii, udostępnionej na stronie internetowej Polskiego Towarzystwa Tomasza z Akwinu, ma bardzo wiele znaczeń, z czego na czoło wysuwa się rozum i słowo. Wskazywałoby to związek języka z rozumem, z racjami rozumowymi, rozumieniem świata. Możemy chyba pokusić się nawet o stwierdzenie, że nosicielem logosu jest słowo, a więc i język.

Prof. Stróżewski analizując pojęcie logosu u Heraklita wskazuje, że stanowił on podstawową (obok ognia) zasadę rządzącą światem,  czyli arche (etymologicznie - zasada, przyczyna, władza). 

Z jednej strony arche świata u Heraklita stanowił spalający (i łączący) ogień, a z drugiej procesem tym zarządzał logos, jako zasada porządkująca i tym samym nadawca sensu, gdyż nadaje światu reguły, które sprawiają, że świat jest ułożony tak a nie inaczej i że my możemy się w tym świecie rozeznać. Logos u Heraklita (wg Stróżewskiego) to nie tylko siła porządkująca świat, będąca jego częścią, to również coś, co istnieje transcendentnie, a więc poza światem, która wykracza poza kosmos.

Za twórcę logiki, jako sztuki poprawnego rozumowania i uzasadniania twierdzeń, uważany jest powszechnie Arystoteles. Niewątpliwie inspiracją dla niego były stosowane i nauczane w Akademii Platońskiej, której był uczniem, wzorce rozumowań wypracowane w dużej mierze przez pitagorejczyków i stosowane w ówczesnej matematyce (dedukcja), które zaowocowały jakiś czas potem „Elementami” Euklidesa. 

Pozostawił po sobie wiele pism poświęconych logice, znanych pod wspólnym tytułem „Organon”, czyli organ, gdyż właśnie w ten sposób myślał o logice – jako usługowym dla umysłu narzędziu poznania. Jako pierwszy wydobył i sformułował jeden z podstawowych schematów wnioskowania logicznego, zwany sylogizmem (z dwóch przesłanek posiadających wspólny element wyprowadzany jest w sposób konieczny wniosek zawierający wszystkie elementy przesłanek). Jak ważny był to „wynalazek” może świadczyć to, że logika Arystotelesa nazywana bywa często logiką sylogistyczną. Jest to rozumowanie (wsparte tzw. pierwszymi zasadami, będącymi w gruncie rzeczy aksjomatami dla logiki, dla poprawnego rozumowania - czyli zasadą wyłączonego środka, niesprzeczności oraz tożsamości) wiodące od ogółu (ogólne przesłanki) do szczegółu (szczegółowy wniosek), czyli dedukcyjne.

Jednak logika Arystotelesa różniła się od tej stosowanej współcześnie (formalnej), gdyż oparta była na jego metafizycznym założeniu realizmu pojęć (wrócę do tego, gdy będę poruszał temat uniwersaliów), wyrażających istotę rzeczy podpadających pod pojęcia (definicje), a z tego wynikało, że analiza logiczna pojęć była jednoznaczna (wg Arystotelesa) z analizą zmysłowo postrzeganych zmiennych rzeczy, jako realnych odpowiedników pojęć w świecie rzeczywistym. Dokonując częściowej formalizacji logiki, poprzez wprowadzenie zmiennych (na wzór zmiennych stosowanych w tamtej epoce symbolicznych oznaczeń wziętych z geometrii,), traktował je jako skróty nazw (pojęć), odzwierciedlających co do istoty konieczny układ rzeczy, do których pojęcia te się odnosiły.

Połączenie lub rozłączenie pojęć w sądzie odpowiadało połączeniu i rozłączeniu rzeczy (substancji), a prawda polegała na zgodności sądu z rzeczą, o której sąd był wypowiadany.

O ile logika Arystotelesa w zamyśle była służebną w stosunku do poznania, to inspirowana nią logika stoików miała charakter bardziej autonomiczny, jako odrębna od metafizyki nauka, dla której nie tyle poznanie nie było naczelnym celem, co usprawnienie procesu myślenia jako takiego. Do logiki stoicy podeszli bardziej formalnie, wprowadzając w miejsce zmiennych nazwowych Arystotelesa zmienne zdaniowe, co było początkiem logiki formalnej, tak jak się myśli o niej współcześnie, a więc głównie sformalizowane operacje  na symbolach logicznych.

Współczesna logika formalna  ogranicza się głównie do analizowania formalnej językowej poprawności zdań, a właściwie reprezentujących je symboli. Analiza znaczeń, treści tych zdań jest poza jej zainteresowaniem. Współczesna logika matematyczna jest jedną z postaci takiej właśnie logiki formalnej.

Jedną z najciekawszych postaci z obszaru matematyki i logiki, dalece wykraczającą poza ten zakres, był Gottfried Leibniz.  Wg niego aksjomaty i twierdzenia matematyczne są pierwotnymi prawdami rozumu, są konieczne, wieczne i zawsze prawdziwe, a wiedza przez nią dostarczana jest pewna. Czyli prezentował pogląd w gruncie rzeczy zbliżony do w współczesnego platonizmu wśród matematyków.

Jak można się dowiedzieć z niektórych opracowań tematyki, Gottfried Leibniz był pierwszym, który doszedł do wniosku, że dostateczną podstawą twierdzeń matematyki mogą być podstawowe twierdzenia logiki, że można ją, tj. matematykę, wywieść z zasad tożsamości i niesprzeczności.

Tę ideę Leibniza, ochrzczoną później logicyzmem, polegającą na redukcji arytmetyki do logiki podjęli Gottlob Frege, a następnie również Bertrand Russell i Alfred N. Whitehead .

Ideę logicyzmu w wersji Russella można przedstawić (za artykułem Jerzego Dadaczyńskiego)

„(…)jako koniunkcję czterech tez:

1. wszystkie pojęcia matematyczne, w tym pojęcia pierwotne teorii matematycznych, można zdefiniować explicite przy pomocy pojęć czysto logicznych;
2. aksjomaty, czyli tzw. twierdzenia pierwotne matematyki, mogą być wyprowadzone z aksjomatów logicznych drogą czysto logicznej dedukcji;
3. wszystkie twierdzenia matematyczne są dedukowalne z twierdzeń pierwotnych (aksjomatów);
4. wspomniana dedukcja opiera się na logice wspólnej dla wszystkich teorii matematycznych, czyli uzasadnienie twierdzeń w poszczególnych teoriach matematycznych odbywa się w oparciu o te same podstawowe zasady, tworzące jedną dla całej matematyki logikę. Teza ta odwołuje się do spostrzeżenia, że większość teorii matematycznych budowana jest za pomocą jednej logiki, mianowicie logiki klasycznej, oraz do przekonania, że wszystkie argumentacje matematyczne mogą być sformalizowane.”

Redukcja matematyki do logiki oznaczałaby, że twierdzenia matematyczne są sądami analitycznymi (inaczej niż u Kanta), o prawdziwości zagwarantowanej przez prawa logiki.

Monumentalną próbą urzeczywistnienia idei logicyzmu była „Principia mathematica” autorstwa Russella i  Whiteheada, jednak w powszechnej opinii była to próba nie do końca udana, gdyż definicję logiki rozszerzali nadmiernie i wspierali się jednak pojęciami z obszaru matematyki. W literaturze można się zetknąć z powszechną opinią, że wszystkie prawa logiki, są tautologiami, natomiast postulowana przez logistów redukcja wymagała korzystania również z założeń nietautologicznych (np. nieskończoności). Jeden z wielkich tamtej epoki, Henri Poincaré, bronił poglądu, że np. niezbędna w matematyce zasada indukcji nie da się zredukować do czystej logiki.

Podsumowując temat można stwierdzić, że zadaniem logiki matematycznej jest badanie natury rozumowań dedukcyjnych i ustalanie kryteriów ich poprawności. Podstawą tej logiki, jak zresztą wszelkiej logiki,  są twierdzenia zwane pierwszymi zasadami, które są najbardziej oczywistymi dla umysłu, narzucające mu się w sposób naturalny, a które jednocześnie są podstawą dla wszystkich innych praw logiki. Są to (jak już wspominałem):  zasada wyłączonego środka, zasada niesprzeczności oraz zasada tożsamości. Z czasem do tych zasad, jako najbardziej podstawowych, niektórzy badacze dołączali jeszcze inne, jak choćby zasada racji dostatecznej wprowadzona przez Leibniza (każde zjawisko ma swoją przyczynę i może być wyjaśnione racjonalnie, czyli podaniu rozumowej racji wyjaśniającej), jednak nie zmieniło to zasad znanych wcześniej. Zasady te, jako prawdy pierwotne i oczywiste, nie wymagają żadnego uzasadnienia i pełnią rolę analogiczną, jak aksjomaty w matematyce. Niektórzy szli nawet o krok dalej, jak przykładowo logiści, twierdząc, że te podstawowe prawdy (zasady) logiki stanowią podstawę również dla aksjomatów matematyki

 

Język jako narzędzie poznania.

Pisałem wcześniej o logosie w aspekcie logiki i ładu świata. Jednak nosicielem logosu jest przede wszystkim słowo, język.

W pewnym sensie logika zawarta jest już w strukturze języka. Przecież logika formalna w gruncie rzeczy tylko precyzuje i uściśla właściwe posługiwanie się językiem, by było ono zgodne z regułami już pośrednio zawartymi w językach naturalnych. Tak twierdził np. Noam Chomsky, który uważał, że wszystkie języki naturalne posiadają wspólną strukturę głęboką, która zawiera ukrytą w niej strukturę logiczną (np. we wszystkich językach naturalnych występują funkcje koniunkcji i negacji).

Ludwig Wittgenstein w „Traktacie logiczno-filozoficznym”, gdzie stara się wyjaśnić relację myśli i języka do opisywanego przezeń świata, uważał, że adekwatny opis rzeczywistości świata, jego odwzorowanie w „modelu” jako obrazu świata w myśli  możliwe jest dzięki wspólnej formie odwzorowania, która musi być formą logiczną. Język i świat posiadają wspólną strukturę logiczną.

Słowo jest abstrakcją, lecz w trochę innym, szerszym znaczeniu niż to, jakie nadał temu pojęciu Arystoteles (rezultat procesu intelektualnego abstrahowania od rzeczy i wydobywania z niej tego, co stanowi jej istotę). Nie jest rzeczą, choć rzecz opisuje, reprezentuje ją symbolicznie, jest jej znakiem (oznacza ją), wskazuje. Ma moc tworzenia. Dopiero rzecz nazwana pojawia się w pełni w naszej świadomości i może być przez nią pojęta (pojmana umysłem). Myślimy przy pomocy języka (przynajmniej to co nazywamy racjonalnym myśleniem, w pełni uświadamianym przez nas), dlatego np. neomarksiści doszli do wniosku, że można wpływać na świadomość ludzi poprzez manipulacje dokonywane na języku.

Doskonale opisał to George Orwell w swym aneksie do powieści „Rok 1984”, gdzie obrazowo i dokładnie wyjaśnia, jak można wpływać na myślenie ludzi oraz ich świadomość poprzez wprowadzanie ograniczeń na zasób słów i zmieniając ich pierwotne znaczenie (przykładowo ministerstwo propagandy nazywane było min. „Prawdy” itp.). Współcześnie mamy doskonałą okazję do bezpośredniej obserwacji zjawiska manipulacji językiem przy pomocy „poprawności politycznej”, która pod pozorem tezy - jeżeli z języka wyeliminujemy słowa konfliktowe, znikną konflikty i nastanie pokój, tak naprawdę próbuje przejąć nad nim kontrolę, w głębokim przekonaniu, że kto kontroluje język, ten kontroluje myślenie, a tym samym rzeczywistość.

 

Właściwie każda nazwa jest abstrakcją. Bo przecież otaczająca nas rzeczywistość składa się z rzeczy pojedynczych. W rzeczywistości fizycznej, zmysłowej nie istnieje drzewo. To przykładowe pojęcie jest abstrakcją, dzięki której możliwe jest dostrzeżenie drzew jako przedmiotów mających pewne cechy wspólne, które pozwalają dostrzegać istnienie gatunków czy rodzajów rzeczy. Bez abstrakcji obecnych w języku, a właściwie będących jego istotą, nie bylibyśmy w stanie się porozumieć. Można np. puścić wodze fantazji i wyobrazić sobie jakiegoś olbrzymiego Guliwera wśród liliputów, który woziłby ze sobą mnóstwo przedmiotów rzeczywistych, ciężkich, warzących tony i pokazywał – a to krzesło, to drzewo, to łopatę i bez użycia słów będących abstrakcjami (lekkich jak myśl i giętkich słów) – taka rozmowa byłaby co najmniej bardzo wyczerpująca.

Poza językiem są jedynie rzeczy pojedyncze.

Język ma jednocześnie moc odkrywania i zakrywania rzeczywistości. Odkrywa ją, ujawnia jej zakryte tajemnice, gdyż pozwala abstrahować od konkretu do ogółu i dzięki temu ujawniać coraz to nowe obszary rzeczywistości, których ogląd wcześniej wymykał się. Zakrywa rzeczywistość, gdyż abstrahowanie od rzeczy narzuca nam pewne filtry postrzegania, które od rzeczywistości nas częściowo oddzielają. Abstrakcja utrudnia nam dostrzeżenie tego, co nagie (aletheia – greckie określenie na prawdę jako nagość rzeczy).

Myślenie racjonalne, w pełni uświadamiane, jest możliwe tylko dzięki użyciu języka. Co nie jest nazwane, znajduje się na peryferiach naszej świadomości.

Język w pewien sposób „stwarza” rzeczywistość, w której żyjemy (żyje nasza świadomość – kultura, filozofia, nauka itp.). Według niektórych skrajnych interpretacji hipotezy Sapira-Whorfa, język całkowicie determinuje nasz sposób myślenia i postrzegania świata, a każdy z rodzajów języka tworzy „odrębne” i specyficzne światy, generuje ich metafizykę. W pewnym sensie ludzie żyją w odrębnych rzeczywistościach, zależnie od języka, którym się posługują. Jak twierdził Whorf w „Język, myśl i rzeczywistość” - „postrzegający nie tworzą sobie tego samego obrazu świata na podstawie tych samych faktów fizycznych, jeśli ich zaplecza językowe nie są podobne lub przynajmniej porównywalne”.

W językach indoeuropejskich, gdzie nacisk kładziony jest na rzeczowniki, rzeczywistość postrzegana jest bardziej statycznie. Z kolei, jak gdzieś wyczytałem, w językach dalekiego wschodu (np. chińskim) rzeczownik może być jednocześnie czasownikiem, zależnie od kontekstu. Ten sam wyraz może oznaczać np. „stół” lub „stołować”. Skutek taki, że języki indoeuropejskie „generują” bardziej statyczny obraz rzeczywistości, podmioto-przedmiotowy, który dobrze wyraża logika arystotelowska, a chiński bardziej dynamiczny i jednocześnie mniej dychotomiczny.

Z kolei języki z grupy semickiej są bardzo „mało” abstrakcyjnie i można w nich wyrażać przede wszystkim konkrety. Może dlatego teologia obecna w Starym Testamencie jest taka bardzo egzystencjalna, konkretna i bardzo różna od abstrakcyjnych opisów obecnych w kulturze greckiej.  

Jeszcze inaczej świat „wygląda” w języku Indian Hopi, w którym nie występują czasowniki określające czas przeszły lub przyszły, za to jest mnóstwo określeń na przestrzeń, radzących sobie całkiem dobrze z sytuacjami, na które my stosujemy określenia związane z czasem. W świetle teorii Einsteina, w której pojęcie czasoprzestrzeni jest jednym z kluczowych, a czas i przestrzeń są ze sobą nierozerwalnie splecione, ta „dziwność” języka Hopi staje się mniej dziwna.

Jednak pomimo tego zróżnicowania struktur językowych i wizji rzeczywistości przez nie generowanych, to logika myślenia oraz wyciągania wniosków jest taka sama u wszystkich ludzi, niezależnie jakim językiem by się nie posługiwali.

Język pozwala budować rozmaite teorie i modele rzeczywistości, dzięki którym możliwe jest poznawanie coraz to nowych obszarów rzeczywistości, wcześniej nie dostrzeganych. Język pozwala więc na budowanie coraz to nowych narzędzi poznawczych, uzbrajając nimi nasz umysł. Mało tego – pozwala również na konstruowanie narzędzi wzmacniających możliwości poznawcze naszych zmysłów, budowanie rozmaitych maszyn i urządzeń (dzięki wcześniej „skonstruowanym” teoriom) , takich jak lunety czy mikroskopy, aż po akceleratory cząstek elementarnych.

Można powiedzieć, że dzięki językowi zdolni jesteśmy tworzyć rozmaite filtry „wzmacniające” postrzeganie rzeczywistości, które, dzięki abstrahowaniu od części jej (tj. rzeczywistości) aspektów, mogą penetrować w coraz to nowym i intensywniejszym „oświetleniu” przez umysł kolejnych warstw rzeczy. Coraz to nowe teorie i narzędzia lepiej, coraz dokładniej tłumaczą świat.

W pewnym sensie matematyka i narzędzia poznawcze jakie oferuje, może być opisywana jako szczególny rodzaj języka. Matematyka i jej „przystawanie” do rzeczywistości świata, umożliwiające jego opis matematycznymi formułami, wydaje się czymś tajemniczym i niezwykłym, dającym wiele do myślenia. Można z jej istnienia wywodzić dowód naturalnie wyłaniającej się hipotezy na racjonalność i rozumność świata. Bo czy my jedynie racjonalizujemy rzeczywistość świata, nakładając nań jedynie filtry umysłu, a świat w sobie jest chaosem, czy też jest on poznawalny dlatego, że jest z natury swej racjonalny i dzięki temu możliwy do poznania przez rozum?

Ludzie od wieków starali się przeniknąć tajemnice świata, zrozumieć go i poznać. Próbowali rozmaici filozofowie i myśliciele, w czym bardzo często wspomagali ich bogowie poprzez przekazy zawarte w religiach, ich mitach i wierzeniach. Dawały one najpełniejszą wizję rzeczywistości oraz tego, jak w niej miał się znaleźć człowiek.

Odpowiadały one na pytania nie tylko o tajemnice świata, ale również o to, jak człowiek powinien w nim żyć i co po śmierci. Odpowiadały na pytania o naszą tożsamość – skąd przychodzimy, kim jesteśmy, dokąd zmierzamy?

W czasach nam bardziej współczesnych religię próbuje zastąpić nauka i próbujące się na niej opierać w mniejszym lub większym stopniu  rozmaite koncepcje filozoficzne.

Dlatego np. Marks, tworząc swoją wizję, zwaną materializmem dialektycznym, lubił na każdym kroku podkreślać, że jest on naukowy. Materializm naukowy taki.

Już od czasu starożytnych, ludzie próbując odkryć mechanizmy rządzące światem i człowiekiem, nade wszystko pragną odkryć jego arche, którym to słowem starożytni Grecy określali podstawową zasadę (przyczynę, władzę) rządzącą wszystkim. I tak np. u wspomnianego Marksa był nią monizm materialistyczny no i twierdzenie, że to „byt kształtuje świadomość”. Jednak później, niejaki Gramsci, doszedł do wniosku wręcz przeciwnego (a za nim tzw. szkoła frankfurcka i neomarksizm), że to świadomość kształtuje byt, a nadbudowa jest równie ważna, co byt, a nawet ważniejsza.

Arche dla Nietschego była wolą mocy, dla Freuda – libido. Te kolejno powstające koncepcje pozwalały oświetlić rzeczy z różnych, często bardzo nieoczekiwanych stron i czasem dzięki temu dostrzec do tej pory ukryte przyczyny (mechanizmy) powstawania rzeczy.

Krzysztof Kłopotowski na przykład, znany krytyk filmowy (i nie tylko), będący gorącym zwolennikiem psychologii głębi C.G. Junga (będącej de facto współczesną formą gnozy; sam Kłopotowski przyznawał się do bycia zdeklarowanym wyznawcą gnozy Rudolfa Steinera), korzystając z jej wizji rzeczywistości, potrafił bardzo trafnie,  przy wykorzystaniu klisz oraz filtrów przez Junga podsuwanych, wydobyć na światło dzienne takie aspekty omawianych przez siebie filmów, na których wydobycie nie mieli szans pozostali.

Jak ważne bywają w naszym poznawaniu i rozumieniu rzeczy filtry poznawcze, podam również Inny przykład. Dajmy na to ktoś, dzięki spostrzeżeniu, że „wszystko”  kręci się wokół  pieniądza i władzy oraz dystrybucji prestiżu, potrafi na nowo odczytać różne momenty historyczne, filtrując je wg „odkrytego” klucza, który często rzuca nowe światło na przeszłe zdarzenia. Znalazł do nich odpowiedni klucz, dzięki któremu można było nie zawsze zrozumiałe wydarzenia historyczne uporządkować i nadać im zrozumiały sens. Można to obrazowo porównać do odziaływania magnesu na strukturę opiłków żelaza – z chaosu wyłania się przejrzysta struktura.

Poszukiwania arche, jednej podstawowej zasady, z której da się wyprowadzić wszystkie pozostałe, to poszukiwanie mechanizmów przyczynowych powstawania rzeczy. Niektórzy (choćby Michalkiewicz) upatrują możliwość poznawania i rozumienia świata w tym, iż istnieje w nim zasada przyczynowości (na wschodzie nazywana prawem Karmana – prawem przyczyny i skutku). To dzięki niej świat jest racjonalny i możliwy poznaniu przez rozum.

Na ogół jednak owe poszukiwania podstawowych zasad, z których można wyprowadzić wszystkie inne, niosą ze sobą zagrożenie redukcjonizmem rzeczywistości. Można przy tej okazji kolejny raz przywołać eksperymenty przeprowadzane na lekcjach fizyki. Zawsze miały one jakieś odchylenia od wzorca teorii, którą miały potwierdzić i dlatego nauczyciel  podkreślał, by abstrahować myślowo – a to od tarcia, a to od oporu powietrza, a to … od tego lub owego.

Czyli był zakładany pewien filtr na poznawaną rzeczywistość, który z jednej strony stanowił narzędzie bardziej wnikliwego, oświetlającego spojrzenia, co można by zobrazować filtrami (soczewkami) lasera skupiającymi promienie światła w jedną silną wiązkę, filtr pozwalający uporządkować (i wydobyć w ten sposób z chaosu) poznawaną rzeczywistość wg pewnego wzorca, a z drugiej strony oślepiał nas na te aspekty rzeczy, od których mieliśmy abstrahować. Bo, co prawda, rzecz oświetlona daną teorią stawała przed nami wyraźniej, to jednak tym większym cieniem było okrywane to, czego teoria nie oświetla. Takie zjawisko znamy dobrze oświetlając sobie np. drogę latarką – ścieżka jest dobrze widoczna i wydobyta z mroku, jednak tym większym mrokiem otoczone są rzeczy, na które światło nie pada, choć przed zapaleniem latarki wszystkie te rzeczy były w szarości dostrzegalne, choć nie wyraźnie.

Te rozmaite filtry, które nakładamy na rzeczywistość, w mniejszym lub większym stopniu ją wypaczają. Zresztą, filtry postrzegania rzeczy są właściwie czymś naturalnym dla ludzkiego umysłu. Wg szacunków badaczy (neuroinformatyków) do naszego mózgu dociera ok. 100 mld. bitów informacji na sekundę. Jednak z tej ogromnej ilości informacji do naszej świadomości dociera jedynie stosunkowo niewielka ich część, gdyż mózg działa redukcyjnie, selekcjonując i filtrując te informacje. Zazwyczaj są to „filtry” funkcjonalne. Świadomie przetwarzane są jedynie te informacje, które umożliwiają nam funkcjonowanie w życiu, co stanowi ledwie ułamek. Reszta pozostaje w naszej podświadomości, przetwarzana automatycznie, przez nasze instynkty i reakcje behawioralne lub też jest ignorowana.

Jeśli się przyjrzeć temu jak działa nauka, to okaże się, że podobnie. 

Teoria naukowa jest pewnego rodzaju filtrem, który umożliwia nam skupienie się na konkretnych informacjach i porządkowanie ich wg pewnego klucza. Umożliwia dostrzeżenie jakiegoś porządku, którego nie moglibyśmy dostrzec w innym razie. Jest jak reflektor, rzucający snop światła.

Innym aspektem związanym z językiem jest trop podsunięty w Ewangelii św. Jana  - Logos; słowo stwarzające i boski rozum (logika). W natchnionym Prologu do Ewangelii św. Jan wydaje się łączyć  tradycję judaistyczną z grecką w sposób dający wiele do myślenia. Ale to rozważania bliższe już teologii niż matematyki.

 

Spór o uniwersalia jako szersza płaszczyzna sporu o istnienie przedmiotów matematycznych.

Pytania o naturę istnienia matematyki i próby odpowiedzi na nie w dużej mierze powielają odwieczny (gdyż trwa istotnie od bardzo wielu już wieków, szczególnie gorąco rozgorzał on w okresie średniowiecza) spór o uniwersalia, inaczej zwane powszechnikami. Czy istnieją tylko rzeczy indywidualne i konkretne, czy również rzeczy ogólne, np. takie jak „czerwień”, kula, gatunek czy rodzaj?

Chociaż spór o uniwersalia nie jest głównym tematem, na którym chciałem się skupić, to jednak jest istotnym tłem dla sporu o  przedmioty matematyki, dlatego chcę go tu choćby skrótowo opisać, jednak bez wchodzenia w szczegóły, gdyż wymagałoby to odrębnego wpisu.

Mówiąc o uniwersaliach (to, co ogólne) przyjmuje się zazwyczaj w uproszczeniu, że są one abstrakcyjne, a to co jednostkowe, że jest konkretne.

Neoplatonik Porfiriusz (uczeń Plotyna) pisząc „Isagogi”, w którym komentował jeden z tekstów Arystotelesa (Kategorie), sformułował tam we wstępnie trzy pytania:

1. czy rodzaje i gatunki istnieją w rzeczywistości, czy tylko w myśli?
2. jeśli istnieją w rzeczywistości, to czy są cielesne, czy niecielesne?
3. jeśli są niecielesne, czy istnieją w rzeczach zmysłowych, czy oddzielnie?

W pytaniach tych zawarł najbardziej klarownie istotę sporu o uniwersalia, który został podjęty ze wzmożonym natężeniem przez średniowiecznych uczonych.

W średniowieczu zasadniczo ścierały się dwa przeciwstawne poglądy:

1. za realnym istnieniem powszechników
   1. skrajny realizm pojęciowy, którego zwolennicy uważali, że powszechniki są realne i że istnieją niezależnie od przedmiotów jednostkowych (zmysłowych); pojmowali je na wzór idei platońskich, za św. Augustynem i Platonem,
   2. umiarkowany realizm pojęciowy, uznawał realne istnienie powszechników jako pojęć ogólnych tkwiących w rzeczach i odmawiał im niezależnego  istnienia poza rzeczami jednostkowymi; powszechniki istnieją jedynie w rzeczach (odrzucał istnienie idei odrębnych bytowo) jako ich forma, która tkwi w rzeczach i kształtuje ich istotę; zwolennikiem takiego poglądu był św. Tomasz, który szedł w tym za Arystotelesem,
2. powszechniki realnie nie istnieją
   1. konceptualizmu, który widział w powszechnikach jedynie byty myślowe (intelektu, psychiczne), takie jak pojęcia, koncepcje; powszechniki są skutkiem abstrahowania cech ogólnych rzeczy jednostkowych,
   2. nominalizm, twierdzący, że nie istnieje nic, poza przedmiotami jednostkowymi, a powszechniki są jedynie nazwami, a cała „powszechność” jedynie stąd się bierze, że są nazwami wielu rzeczy pojedynczych; najbardziej znanym nominalistą był William Ockham (ten od „brzytwy”)

Stanisław Michalkiewicz lubi przytaczać cytat z „Towarzysza Szmaciaka” Janusza Szpotańskiego, w którym poruszana jest sprawa zgubnych skutków hipostazowania pojęć ogólnych:  „Kto w szpony dostał się hipostaz, rzeczywistości już nie sprosta, bo spoza gęstej mgły abstraktów najprostszych już nie widzi faktów”. Hipostaza, wg niego,  polega na uznawaniu bytów fikcyjnych za realne.

Takie niebezpieczeństwo, o którym pisze Szpotański, w przypadku uniwersaliów oczywiście istnieje. Pomimo tego jednak nie ukrywam, że bliżej jest mi do realistów niż konceptualistów lub nominalistów. Dlaczego? Gdyż uważam, że konceptualizm daje furtkę subiektywizmowi w poznaniu, który jest mi wrogiem. Choć częściej można spotkać się z poglądem, że to idealizm w swych różnorodnych postaciach, inspirowanych w końcu filozofią Platona, zamyka człowieka w kręgu własnego umysłu, który projektuje na rzeczy własne treści, tworząc nierealne hipostazy i oddalając nas jednocześnie od rzeczywistości. Na szczęście rzeczywistość i tak daje o sobie znać, bo jak pisze O. Piotr Rostworowski: „(…) z rzeczywistością nikt jeszcze wojny nie wygrał.”

Jednak to, co można zarzucić szeroko pojętemu idealizmowi, że brakuje mu kontaktu z rzeczywistością, a swoje poznanie opiera tylko na założeniach i konstrukcjach myśli – tego nie można jednak zrobić w stosunku do samego Platona. Dla niego idee były doświadczane i poznawane przez człowieka jako coś niezależnego od poznającego podmiotu.

Dokładnie tak ujmował sprawy dotyczące wartości etycznych Sokrates, a z bardziej nam współczesnych – fenomenologia w osobie Maxa Schelera. Pisałem o tym szerzej w tekście
„O wartościach...”, że wartości są niezależne  od człowieka, że nie są jego wytworem i że mogą być one bezpośrednio przez niego poznawane, a on sam może im co najwyżej próbować sprostać i urzeczywistnić. Bez istnienia obiektywnych, niezależnych od człowieka wartości nie mogłaby istnieć prawdziwa odpowiedzialność, byłaby czymś absurdalnym – bo np. jak domagać się powetowania szkód wyrządzonych, jeśli byłyby to szkody pozorne, gdyż nie można niszczyć wartości, które nie istnieją.

Tak więc wartości są uniwersaliami, których podważanie realnego istnienia rodzi duże konsekwencje i prowadzi do absurdów.

Natomiast konceptualizm traktuje powszechniki jako twory umysłu całkowicie od niego zależne, które nie są wynikiem poznania nakierowanego na zewnątrz, co daje, w moim mniemaniu, pole do pewnej dowolności, co najwyżej ograniczanej przez przyjmowane konwencje.

Wydaje się, że podobnie jak z wartościami, mają się sprawy z prawami w fizyce, których realne istnienie potwierdzane jest praktycznymi, doświadczalnymi wskaźnikami, jak choćby możliwość przewidywania skutków różnych działań, możliwość konstruowania min. mostów i komputerów w oparciu o te prawa. Sposób ich istnienia nie jest materialny, ani związany z czasem i przestrzenią, a jednak w jakiś sposób te prawa istnieją.

Jak już jesteśmy przy prawach, to co z prawem cywilnym lub karnym i w ogóle z jurysprudencją – jest tylko konwencją, dość arbitralnie przyjętą w drodze zgody społecznej na dane prawa, czy też przeciwnie – istnieje prawo naturalne (boskie), które jest obiektywne i niezależne od widzimisię człowieka?

W jaki sposób istnieje np. symfonia muzyczna, w jaki obraz namalowany przez artystę? Czy obraz to płótno, farby i rama, czy też istota obrazu jedynie jest ufundowana w tej materii, lecz jednocześnie czymś różnym od niej? Podobnie z literaturą.

Co z instytucjami takimi np. jak sąd czy parlament. Są to twory niematerialne choć mogące mieć materialne manifestacje w postaci budynku – siedziby lub reprezentowaną przez swych członków, sędziów lub parlamentarzystów.

A Kościół? Jako mistyczne ciało Chrystusa, wspólnota na którą składają się pojedynczy wierni, a więc jednostki (istnieje to co ogólne, ale ujawnia się przez to co jednostkowe). A tajemnica Trójcy Świętej?

Świat przyrody składa się z rzeczy jednostkowych, pojedynczych, natomiast świat abstrakcji oraz świat idei – z rzeczy ogólnych. Struktura pojęć ze świata ogólnego nakłada się na strukturę świata jednostkowego (przyrody) w taki sposób, że wszystkie rzeczy pojedyncze, jednostkowe podpadają pod ogólne, w pewnym sensie podporządkowują mu się.

Oczywiście, ja tego sporu o uniwersalia tu nie rozstrzygnę, mogę jedynie próbować w ogólnym zarysie go przedstawić, jednak osobiście uważam, że więcej ważkich argumentów jest po stronie realistów.

 

Podsumowanie

Chyba nie muszę specjalnie nikogo przekonywać, że matematyka stała się bardzo ważną częścią naszej rzeczywistości. Niezwykle dynamiczny rozwój nauk przyrodniczych, techniki – to wszystko nie byłoby możliwe bez matematyki.  Podejmując ten temat, chciałem samemu sobie rozjaśnić czym matematyka w istocie jest, a jeśli rezultat tego rozjaśniania okaże się w miarę spójny, wyjść z tekstem na zewnątrz.

Zapewne wielu czytającym tekst ten wyda się zbyt rozległy i przez to dodatkowo trudny w odbiorze. No i po co tyle dodatkowych wątków, jak logos, logika, język, czy uniwersalia? Przecież nie są one bezpośrednio związane z tematem.

Uważam, że nawet jeśli te związki nie są bezpośrednie, to jednak dla mnie oczywiste i silne, i że dopiero na ich tle uwidaczniają się niektóre z aspektów dotyczących samej matematyki. Np. spór o uniwersalia – jako szersze tło dla sporu o istnienie przedmiotów matematycznych.

Jakiś czas temu wysłuchałem wykładu prof. Krzysztofa Meisnera, znanego fizyka teoretycznego, współpracownika słynnego fizyka Rogera Penrose (do czego może zbyt często nawiązywał). Przedstawiał się w nim siebie jako platonika w fizyce, choć nie był to chyba platonizm bardzo ortodoksyjny.  Odpowiadając na pytanie z sali o akt stworzenia powiedział, że dla niego  prawdziwym aktem stworzenia jest moment  powstania praw fizyki, a nie świata materialnego. Stworzenie świata jest wtórne w stosunku do praw, a świat dla niego jawi się jako rodzaj emanacji praw. Bez praw nie ma nic.

Dla Meissnera prawa są tożsame z platońskimi ideami, choć może nie 1:1.  Prawa-idee są obiektywne, niezmienne wieczne, trwałe, doskonałe, niezniszczalne i rządzą materialnym światem, zupełnie jak idee Platona.

Świat, który jest ich emanacją, jest zmienny, niedoskonały, nie jest wieczny, ma różne wady itd.  Arystoteles mówił o tym świecie. Platon mówił głównie o świecie obiektywnych idei.

Wygląda więc na to, że w sporze Arystotelesa z Platonem o matematykę to Platon miał rację, przynajmniej tak to wynika z rozwoju współczesnych zmatematyzowanych nauk przyrodniczych.

Gdy Einstein pisał równania ogólnej teorii względności, to nie wychodził od obserwacji otaczającego, materialnego świata, lecz  założył jego symetrię i z tej symetrii, jak twierdzi Meissner, wyprowadził równania.

Z równań tych można wyprowadzić bardzo wiele zjawisk, jak choćby czarne dziury, czy zjawisko rozszerzania się świata, o których z obserwacji nie mieliśmy żadnego pojęcia. Dopiero ten matematyczny opis umożliwił poznanie i ich obserwację.  Wiedza ta zawarta była w tych równaniach.

Dlaczego? Dlatego, że on te równania wyprowadził z idei pewnej symetrii, którą równania spełniają, a nie z obserwacji świata. Źródłem tych równań nie była obserwacja. Było odwrotnie. Rozwój fizyki w XX w. przebiega w  schemacie:  idea – sprawdzenie idei, a nie obserwacja i podsumowanie obserwacji. Największe teorie w fizyce w xx w., tj. mechanika kwantowa, ogólna teoria względności, powstały z idei oraz matematyki, a nie z obserwacji przyrody (choć oczywiście teorie później są weryfikowane doświadczalnie). O roli w tym procesie matematyki najlepiej może świadczyć fakt, że zdaniem fizyków wgląd w mechanikę kwantową możliwy jest tylko narzędziami matematycznymi, bo przecież nie zmysłami.

Mój kolega zwrócił mi kiedyś uwagę na to, że rzeczywistość funkcjonuje według zasady – przyczyna rodzi skutek. Przy pewnej interpretacji matematyki na gruncie fizyki możemy uznać, że tę relację dobrze wyraża najbardziej ogólna i uniwersalna definicja podstawowej cegiełki matematyki, czyli równania.

Przyczyna = Skutek

Jeśli chce się opisać matematycznie jakieś konkretne zagadnienie fizyczne trzeba tylko i aż znaleźć odpowiedni twór matematyczny, którego równania będą się zgadzać z przebiegiem procesów fizycznych. Pozornie trywialne ale tak naprawdę najtrudniejsze.

Jednak matematyka, choć jest tak potężnym narzędziem poznania, ma w moim mniemaniu swoje granice. Trudno mi sobie np. wyobrazić skuteczne jej zastosowanie do zagadnień etycznych, czy wolicjonalnych, emocji, czy estetyki (choć i matematycy mówią o pięknie i elegancji równań),  gdyż dotyczą sfery jakości, a nie ilościowego (przeliczalnego) ujęcia.

Nie wiem dlaczego, ale osobiście mnie to cieszy.

Kończąc przytoczę słowa Benedykta XVI, które wypowiedział jeszcze jako kardynał Ratzinger:

„Istotnym zagrożeniem naszych czasów, jądrem kryzysu naszej kultury jest destabilizacja etosu polegająca na tym, że nie potrafimy już pojąć rozsądku tego, co moralne, i że zredukowaliśmy rozum do tego, co obliczalne. Próba ustabilizowania lub wyzwolenia człowieka i spraw ludzkich z zewnątrz […] oznacza podporządkowanie tego, co duchowe, temu, co kwantytatywne, podporządkowanie wolności przymusowi. Uwolnienie od moralności może zatem zgodnie ze swą istotą, być tylko poddaniem się tyranii”.

 

ROBERT GOCAŁ

---

tagi:

	RG
	24 lipca 2023 09:14

36     1563    4 zaloguj sie by polubić